ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны тетраэдр и некоторое положительное число. Найдите геометрическое место точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от точки до вершин данного тетраэдра равна заданному числу.

Пусть вершины тетраэдра \(A_1,A_2,A_3,A_4\), точка \(X\), а \(G\) — центр масс вершин. Из тождества для суммы квадратов расстояний получаем: \(\sum_{i=1}^4 XA_i^2 = 4\,XG^2 + \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\). Следовательно, условие \(\sum XA_i^2 = c\) эквивалентно \(XG^2 = \frac{1}{4}\left(c — \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\right)\).

Отсюда геометрическое место — сфера с центром в \(G\) и радиусом \(R\), где \(R^2 = \frac{1}{4}\left(c — \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\right)\). Если \(R^2>0\) — сфера; если \(R^2=0\) — точка \(G\); если \(R^2<0\) — \(\emptyset\).

1) Обозначим вершины тетраэдра \(A_1,A_2,A_3,A_4\), произвольную точку пространства \(X\), а также центр масс вершин \(G\) как среднее \(G=\frac{A_1+A_2+A_3+A_4}{4}\) в векторном смысле. Ключевое тождество для суммы квадратов расстояний до фиксированного набора точек гласит: для любых точек \(P_1,\dots,P_n\) и любой точки \(X\) верно \( \sum_{i=1}^{n} XP_i^2 = n\cdot X\bar P^2 + \frac{1}{n}\sum_{i<j} P_iP_j^2\), где \(\bar P\) — центр масс \(P_i\). В нашем случае \(n=4\), \(P_i=A_i\), \(\bar P=G\), поэтому имеем тождество \( \sum_{i=1}^{4} XA_i^2 = 4\cdot XG^2 + \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\). Это тождество выводится разложением по формуле параллелограмма в векторной форме: используя \(XA_i^2=\|X-G+G-A_i\|^2\), суммируя по \(i\) и отмечая, что \(\sum_{i=1}^{4} (G-A_i)=0\), получаем, что смешанные скалярные произведения сокращаются, оставляя сумму из \(4\cdot XG^2\) и постоянного слагаемого \(\frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\), зависящего только от геометрии тетраэдра.

2) Пусть задано число \(c>0\) и требуется описать геометрическое место точек \(X\), удовлетворяющих \(\sum_{i=1}^{4} XA_i^2 = c\). Подставляя тождество, получаем эквивалентное условие \(4\cdot XG^2 + \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2 = c\). Переносим постоянную величину в правую часть и делим на \(4\): \(XG^2 = \frac{1}{4}\left(c — \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\right)\). Поскольку \(\sum_{i<j} A_iA_j^2\) — фиксированная величина, зависящая только от рёбер тетраэдра, то множество решений представляет собой все точки \(X\), лежащие на сфере с центром в \(G\) и радиусом \(R\), где радиус определяется равенством \(R^2=\frac{1}{4}\left(c — \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\right)\). Таким образом, исходное условие сводится к классическому уравнению сферы \(XG^2=R^2\).

3) Классифицируем случаи по знаку \(R^2\). Если \(R^2>0\), то геометрическое место точек есть сфера с центром в \(G\) и радиусом \(R\). Если \(R^2=0\), то множество решений вырождается в одиночную точку \(G\). Если \(R^2<0\), то решений нет, то есть геометрическое место пусто, что записывается как \(\emptyset\). Итог: геометрическое место — сфера с центром в центре масс вершин тетраэдра \(G\) с радиусом, заданным формулой \(R^2=\frac{1}{4}\left(c — \frac{1}{4}\sum_{i<j} A_iA_j^2\right)\), с указанной оговоркой о случаях вырождения и пустоты множества.