ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Центром сферы является точка пересечения диагоналей куба. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до точки сферы не зависит от выбора этой точки.

Рассмотрим куб с центром \(O\) (точка пересечения его диагоналей) и произвольную точку \(P\). Пусть вершины куба \(A_1,\dots,A_8\). Используем тождество: для любой конечной системы точек \(\{A_i\}\) и любой точки \(P\) верно
\(\sum_{i=1}^{n} PA_i^2=\sum_{i=1}^{n} OA_i^2+n\cdot OP^2-2\,\overrightarrow{OP}\cdot\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{OA_i}\).

В нашем случае \(O\) — центр симметрии множества вершин куба, поэтому \(\sum_{i=1}^{8}\overrightarrow{OA_i}= \overrightarrow{0}\). Следовательно,
\(\sum_{i=1}^{8} PA_i^2=\sum_{i=1}^{8} OA_i^2+8\cdot OP^2\).

Если \(P\) лежит на сфере с центром \(O\), то \(OP=R=\) const, а также все \(OA_i\) равны половине пространственной диагонали куба, значит \(\sum_{i=1}^{8} OA_i^2=\) const. Отсюда
\(\sum_{i=1}^{8} PA_i^2=\text{const}\),

то есть сумма квадратов расстояний от вершин куба до любой точки сферы не зависит от выбора точки на сфере.

1) Пусть дан куб с центром \(O\) (точка пересечения его диагоналей), его вершины \(A_1,\dots,A_8\), и произвольная точка \(P\) на сфере с центром \(O\). Рассмотрим векторное тождество, вытекающее из формулы параллелограмма и скалярного произведения: для любых точек \(A_i\) и любой точки \(P\) верно разложение квадратов расстояний \(PA_i^2\) через векторы от фиксированного центра \(O\). Запишем \(PA_i^2=\|\overrightarrow{PA_i}\|^2=\|\overrightarrow{OA_i}-\overrightarrow{OP}\|^2=\|\overrightarrow{OA_i}\|^2+\|\overrightarrow{OP}\|^2-2\,\overrightarrow{OA_i}\cdot\overrightarrow{OP}\). Суммируя по всем восьми вершинам, получаем формулу \( \sum_{i=1}^{8} PA_i^2=\sum_{i=1}^{8} OA_i^2+8\cdot OP^2-2\,\overrightarrow{OP}\cdot\sum_{i=1}^{8}\overrightarrow{OA_i}\). Это тождество является прямым следствием линейности скалярного произведения и правила разложения нормы разности векторов на квадраты норм и удвоенное скалярное произведение.

2) Теперь используем центральную симметрию множества вершин куба относительно точки \(O\). Поскольку вершины куба попарно симметричны относительно центра, сумма радиус-векторов от \(O\) до вершин равна нулю: \( \sum_{i=1}^{8}\overrightarrow{OA_i}=\overrightarrow{0}\). Подставляя это в предыдущее тождество, получаем существенное упрощение: \( \sum_{i=1}^{8} PA_i^2=\sum_{i=1}^{8} OA_i^2+8\cdot OP^2\). Здесь исчез перекрестный член, отвечающий за зависимость от направления \(\overrightarrow{OP}\), а остались только два слагаемых: сумма квадратов расстояний от центра до вершин и восьмикратный квадрат радиуса-вектора точки \(P\) относительно центра \(O\).

3) Так как \(P\) лежит на сфере с центром \(O\), радиус этой сферы фиксирован: \(OP=R\), значит \(OP^2=R^2\) не зависит от выбора точки \(P\) на сфере. Следовательно, второе слагаемое \(8\cdot OP^2=8R^2\) постоянно. Кроме того, все расстояния \(OA_i\) от центра куба \(O\) до его вершин одинаковы: каждая вершина равноудалена от центра, и это расстояние равно половине длины пространственной диагонали куба. Если ребро куба равно \(a\), то \(OA_i=\frac{\sqrt{3}}{2}a\), следовательно \(OA_i^2=\frac{3}{4}a^2\) и \( \sum_{i=1}^{8} OA_i^2=8\cdot\frac{3}{4}a^2=6a^2\), что также является постоянной величиной, зависящей только от размера куба, а не от точки \(P\). Подставляя, находим \( \sum_{i=1}^{8} PA_i^2=6a^2+8R^2\), то есть величина не меняется при перемещении \(P\) по сфере.

4) Итог: полученная формула демонстрирует независимость суммы квадратов расстояний от выбора точки \(P\) на сфере с центром в \(O\), потому что оба слагаемых являются константами при фиксированных кубе и сфере. Первый вклад \( \sum_{i=1}^{8} OA_i^2\) фиксирован геометрией куба, а второй \(8\cdot OP^2\) фиксирован радиусом сферы. Никакой зависимости от направления \(\overrightarrow{OP}\) не осталось, так как центральная симметрия вершин занулила векторную сумму \( \sum \overrightarrow{OA_i}\). Следовательно, сумма \( \sum_{i=1}^{8} PA_i^2\) одинакова для всех точек \(P\) на данной сфере.

5) Для полноты отметим, что тот же аргумент верен для любого множества точек, имеющего центр масс в \(O\): при \(\sum \overrightarrow{OA_i}=\overrightarrow{0}\) всегда выполняется \( \sum PA_i^2=\sum OA_i^2+n\cdot OP^2\), где \(n\) — число точек. В нашем частном случае \(n=8\), \(OP=R\), а \( \sum OA_i^2\) определяется только размером куба, что немедленно даёт постоянство суммы квадратов расстояний от вершин куба до любой точки сферы с центром \(O\).