ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Для данного тетраэдра укажите точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного тетраэдра наименьшая.

Пусть вершины тетраэдра \(A,B,C,D\), а произвольная точка \(X\). Рассмотрим функцию \(F(X)=XA^2+XB^2+XC^2+XD^2\).

Используем разложение для каждой вершины \(P\in\{A,B,C,D\}\): \(XP^2=XO^2+OP^2-2\,\vec{XO}\cdot\vec{OP}\), где \(O\) — любая точка.

Выберем \(O=G\) — центроид тетраэдра, то есть точка \(G\), для которой \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=0\).

Тогда линейный член исчезает и получаем \(F(X)=4\,XG^2+\text{const}\).

Минимум достигается при \(X=G\). Ответ: центроид тетраэдра \(G\).

Пусть вершины тетраэдра \(A,B,C,D\), а произвольная точка обозначена \(X\). Введём функцию суммы квадратов расстояний от \(X\) до вершин: \(F(X)=XA^{2}+XB^{2}+XC^{2}+XD^{2}\). Чтобы исследовать её, выберем произвольную точку \(O\) и разложим каждый квадрат расстояния по векторной формуле параллелограмма: для любой вершины \(P\in\{A,B,C,D\}\) справедливо \(XP^{2}=XO^{2}+OP^{2}-2\,\vec{XO}\cdot\vec{OP}\). Эта формула получается из равенства \(\|\vec{XP}\|^{2}=\|\vec{XO}-\vec{OP}\|^{2}=\|\vec{XO}\|^{2}+\|\vec{OP}\|^{2}-2\,\vec{XO}\cdot\vec{OP}\).
Суммируя по всем вершинам, имеем \(F(X)=\sum XP^{2}=\sum\big(XO^{2}+OP^{2}-2\,\vec{XO}\cdot\vec{OP}\big)=4\,XO^{2}+\sum OP^{2}-\)
\(-2\,\vec{XO}\cdot\sum\vec{OP}\), так как \(XO^{2}\) повторяется четыре раза.

Теперь выберем специальную точку \(O=G\) — центроид тетраэдра, то есть точку, удовлетворяющую равенству \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=0\). Это равенство эквивалентно тому, что векторная сумма радиусов-векторов от \(G\) к вершинам равна нулю и геометрически означает баланс масс при равных массах в вершинах. При таком выборе линейный член в \(F(X)\) исчезает: \(-2\,\vec{XG}\cdot\sum\vec{GP}=-2\,\vec{XG}\cdot 0=0\). Следовательно, функция принимает вид \(F(X)=4\,XG^{2}+\sum GP^{2}\). Здесь \(\sum GP^{2}\) не зависит от \(X\) и является константой, а единственная переменная часть — \(4\,XG^{2}\), пропорциональная квадрату расстояния от \(X\) до центроида.

Так как \(4\,XG^{2}\ge 0\) и принимает минимальное значение \(0\) только при \(X=G\), то минимум \(F(X)\) достигается в точности в центроиде. Иначе говоря, среди всех точек пространства сумма квадратов расстояний до вершин тетраэдра минимальна у центроида. Векторная форма рассуждения легко переводится в координатную: если вершины имеют радиусы-векторы \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}\), то разложение даёт \(F(X)=4\,XG^2+\text{const}\). Поэтому ответ: центроид тетраэдра \(G\).