ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \(A\) и \(B\). Найдите геометрическое место точек \(X\) таких, что \(XA = 2XB\).

Возьмем точку \(O\) на прямой \(AB\) так, что \(B\) делит отрезок \(AO\) в отношении \(3:1\) от \(A\) к \(O\). Построим сферу с центром \(O\) радиуса \(\frac{2}{3}\,AO\).

Ответ: Геометрическое место точек \(X\), для которых \(XA=2XB\), есть сфера с центром в точке \(O\), лежащей на прямой \(AB\), при этом \(B\) делит \(AO\) в отношении \(3:1\), а её радиус равен \(\frac{2}{3}\,AO\).

1) Пусть на прямой \(AB\) выбрана точка \(O\) так, что отношение деления отрезка \(AO\) точкой \(B\) равно \(3:1\) от \(A\) к \(O\). Это означает, что точки \(A,B,O\) коллинеарны, а векторно \( \overrightarrow{AO}=3\,\overrightarrow{AB} \). Тогда любая точка \(X\), удовлетворяющая условию \(XA=2XB\), должна лежать на сфере с центром \(O\), поскольку из равенства расстояний в фиксированном отношении следует, что множество таких точек есть аполлониева сфера: все точки пространства, для которых расстояния до двух фиксированных точек \(A\) и \(B\) относятся как \(2:1\).

2) Найдём радиус этой сферы. Из классической конструкции аполлониевой сферы для двух точек \(A\) и \(B\) и коэффициента \(k=\frac{XA}{XB}=2\) центр \(O\) лежит на прямой \(AB\) и делит её так, что \(BO=\frac{1}{3}\,AO\), то есть \(B\) делит \(AO\) в отношении \(3:1\). При этом радиус выражается через выбранную базу \(AO\) как \(R=\frac{2}{3}\,AO\). Эквивалентно, если задать координаты на прямой \(AB\) и положить \(O\) так, что \( \overrightarrow{AO}=3\,\overrightarrow{BO} \), то для любой точки \(X\) на сфере выполняется \(XA=2XB\), а для любой точки вне сферы отношение не равно \(2\).

3) Итак, геометрическое место точек \(X\), для которых выполняется \(XA=2XB\), есть сфера с центром \(O\), лежащим на прямой \(AB\), где \(B\) делит \(AO\) в отношении \(3:1\). Её радиус равен \(R=\frac{2}{3}\,AO\). Эта сфера полностью описывает все и только те точки \(X\), для которых расстояние до \(A\) вдвое больше расстояния до \(B\), то есть \(XA=2XB\).