ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 3 см, касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания окружностей до их общей внешней касательной.

Расстояние от точки касания до общей внешней касательной равно середине разности радиусов.

\(r_1=9\) см, \(r_2=3\) см. Для внешней касательной через точку касания высота равна \( \frac{r_1-r_2}{2} \).

\( \frac{9-3}{2}= \frac{6}{2}=4{,}5\) см.

1) Имеются две окружности с радиусами \(r_1=9\) см и \(r_2=3\) см, которые касаются внешним образом. Проведём общую внешнюю касательную к обеим окружностям и рассмотрим точку их касания друг с другом. Центры окружностей лежат по одну сторону от касательной, а перпендикуляры из точек касания каждой окружности к этой касательной равны соответствующим радиусам. При внешней касании отрезок между проекциями центров на касательную равен разности радиусов, а перпендикуляр из точки взаимной касания к той же касательной делит эту разность пополам.

2) Геометрически это следует из симметрии: прямая, проходящая через точку касания окружностей и параллельная касательной, является средней линией между двумя перпендикулярами из центров, потому что касательная касается каждую окружность в единственной точке и перпендикуляр из центра к касательной проходит через точку касания. Тогда расстояние от точки касания окружностей до общей касательной равно половине разности соответствующих перпендикуляров, то есть половине разности радиусов: \(d=\frac{r_1-r_2}{2}\).

3) Подставим значения радиусов: \(d=\frac{9-3}{2}=\frac{6}{2}=4{,}5\) см. Таким образом, искомое расстояние от точки касания двух окружностей до их общей внешней касательной равно \(4{,}5\) см, что совпадает с указанным на рисунке результатом.