ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите длину окружности, описанной около равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 8 см и высотой 7 см.

Основания трапеции: \(8\) и \(6\), высота \(7\). Так как трапеция равнобокая, разность оснований делится пополам: \(x=\frac{8-6}{2}=1\). Тогда катет боковой стороны: \(x=1\), другой катет — высота \(7\), значит боковая сторона \(a=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).

Диагональ \(BD\) как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(7\) и \(1+5\sqrt{2}\) не нужна; радиус описанной окружности равнобедренной трапеции можно найти как радиус описанной окружности треугольника, образованного диагональю: \(R=\frac{BD}{2\sin\angle CED}\). По рисунку из решения: \(\sin\angle =\frac{BH}{EB}=\frac{7}{5\sqrt{2}}\), а \(BD=7\sqrt{2}\). Тогда \(R=\frac{7\sqrt{2}}{2\cdot \frac{7}{5\sqrt{2}}}=5\).

Длина окружности: \(C=2\pi R=2\pi\cdot 5=10\pi\) см.

1. Рассмотрим равнобокую трапецию с основаниями \(8\) см и \(6\) см и высотой \(7\) см. Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны, а проекции этих боковых сторон на большее основание делят разность оснований поровну. Следовательно, каждый из двух равных отрезков у оснований равен \(x=\frac{8-6}{2}=1\) см. Тогда в каждом из прямоугольных треугольников, образованных высотой и этим отрезком, катеты равны \(1\) и \(7\), поэтому длина боковой стороны равна гипотенузе: \(a=\sqrt{1^{2}+7^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) см. Этот шаг важен: мы установили реальную геометрию трапеции, чтобы далее корректно использовать диагональ и радиус описанной окружности.

2. Рассмотрим диагональ трапеции \(BD\). В стандартной конфигурации она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, связанными с высотой и смещением основания. По решению, длина диагонали получается из теоремы Пифагора для треугольника с катетами \(7\) и \(7\) (что соответствует суммарному смещению, возникающему в равнобокой трапеции при построении): \(BD=\sqrt{7^{2}+7^{2}}=7\sqrt{2}\) см. Далее нам нужен угол при основании, чтобы перейти к радиусу описанной окружности, используя формулу радиуса описанной окружности через сторону и синус противоположного угла. Для этого берём вспомогательный отрезок \(BH\), высоту, и сторону \(EB\) (в решении обозначена как боковая сторона). Тогда \(\sin\angle=\frac{BH}{EB}=\frac{7}{5\sqrt{2}}\), поскольку \(BH=7\), а \(EB=5\sqrt{2}\).

3. Радиус окружности, описанной около трапеции, можно выразить через диагональ \(BD\) и синус соответствующего угла: \(R=\frac{BD}{2\sin\angle}\). Подставляя найденные значения, получаем \(R=\frac{7\sqrt{2}}{2\cdot \frac{7}{5\sqrt{2}}}=\frac{7\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}}{2\cdot 7}=\frac{7\cdot 5\cdot 2}{2\cdot 7}=5\) см. Тогда длина окружности равна \(C=2\pi R=2\pi\cdot 5=10\pi\) см. Результат согласуется с вычислениями: сначала установили проекции и боковую сторону \(5\sqrt{2}\), затем через диагональ \(7\sqrt{2}\) и отношение \(\sin\angle=\frac{7}{5\sqrt{2}}\) нашли радиус \(5\), после чего получили длину окружности \(10\pi\) см.