ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На сфере с центром \(O\) взяли точки \(A\) и \(B\) такие, что \(AB = 18\) см. Найдите радиус сферы, если расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) равно 12 см.

Рассмотрим треугольник с вершиной \(O\) и основанием на хорде \(AB\). Расстояние от центра \(O\) до прямой \(AB\) равно \(12\) см — это длина перпендикуляра к середине хорды. Тогда радиус \(R\) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(12\) и \(\frac{AB}{2}=\frac{18}{2}=9\).

\(R=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\) см.

Ответ: \(15\) см.

1) Центр сферы \(O\) лежит на перпендикуляре к хорде \(AB\) и проецируется в её середину, поскольку радиус, проведённый к середине хорды, перпендикулярен хорде. Следовательно, расстояние от точки \(O\) до прямой \(AB\) равно длине перпендикуляра \(OH\), где \(H\) — середина хорды \(AB\). По условию \(OH=12\) см. Половина хорды равна \(\frac{AB}{2}=\frac{18}{2}=9\) см, то есть \(AH=HB=9\) см.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(OHA\), где гипотенуза — радиус сферы \(R=OA\), один катет \(OH=12\) см, а другой катет \(AH=9\) см. Прямоугольность обеспечивается свойством радиуса к середине хорды: \(OH \perp AB\). Тогда по теореме Пифагора для треугольника \(OHA\) имеем соотношение \(R^{2}=OH^{2}+AH^{2}\). Подставляя значения, получаем \(R^{2}=12^{2}+9^{2}=144+81=225\).

3) Из последнего равенства следует \(R=\sqrt{225}=15\) см. Таким образом, радиус сферы равен \(15\) см, что соответствует вычислению по прямоугольному треугольнику с катетами \(12\) и \(9\) и подтверждает связь между центром сферы, серединой хорды и перпендикуляром к хорде: \(R=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15\) см. Ответ: \(15\) см.