ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 + (z + 4)^2 = 9\);

2) \(x^2 + (y + 5)^2 + (z — 6)^2 = 25\);

3) \((x + 3)^2 + (y — 4)^2 + z^2 = 11\);

4) \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\).

Центр сферы задаётся как \((a,b,c)\) из уравнения \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\), радиус \(R=\sqrt{R^2}\).

1) \((x — 1)^2 + (y — 2)^2 + (z + 4)^2 = 9\).
Центр: \((1,\,2,\,-4)\). Радиус: \(R=\sqrt{9}=3\).

2) \(x^2 + (y + 5)^2 + (z — 6)^2 = 25\).
Центр: \((0,\,-5,\,6)\). Радиус: \(R=\sqrt{25}=5\).

3) \((x + 3)^2 + (y — 4)^2 + z^2 = 11\).
Центр: \((-3,\,4,\,0)\). Радиус: \(R=\sqrt{11}\).

4) \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\).
Центр: \((0,\,0,\,0)\). Радиус: \(R=\sqrt{5}\).

1) Уравнение сферы записано в стандартном виде \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=9\). Стандартная форма \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}\) показывает, что центр определяется с учётом знаков внутри скобок: если стоит \((x-a)\), то координата центра по \(x\) равна \(a\); если \((y-b)\), то по \(y\) равна \(b\); если \((z-c)\), то по \(z\) равна \(c\). Здесь \((x-1)\Rightarrow a=1\), \((y-2)\Rightarrow b=2\), \((z+4)\) эквивалентно \((z-(-4))\Rightarrow c=-4\). Радиус определяется как корень из правой части: \(R=\sqrt{9}=3\). Итак, центр \((1,2,-4)\), радиус \(3\).

2) Уравнение \((x)^{2}+(y+5)^{2}+(z-6)^{2}=25\) также соответствует стандартной форме. Термин \(x^{2}\) можно рассматривать как \((x-0)^{2}\), значит координата центра по \(x\) равна \(0\). Для \((y+5)^{2}\) используем преобразование \((y-(-5))^{2}\), следовательно координата по \(y\) равна \(-5\). Для \((z-6)^{2}\) непосредственно видно, что координата по \(z\) равна \(6\). Правая часть даёт квадрат радиуса: \(R^{2}=25\), значит \(R=\sqrt{25}=5\). Таким образом, центр \((0,-5,6)\), радиус \(5\).

3) В записи \((x+3)^{2}+(y-4)^{2}+z^{2}=11\) первый член представим как \((x-(-3))^{2}\), что даёт координату центра по \(x\) равной \(-3\). Второй член \((y-4)^{2}\) даёт координату по \(y\) равной \(4\). Третий член \(z^{2}\) есть \((z-0)^{2}\), следовательно координата по \(z\) равна \(0\). Правая часть равна \(R^{2}\), поэтому \(R=\sqrt{11}\). Итак, центр \((-3,4,0)\), радиус \(\sqrt{11}\).

4) Уравнение \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=5\) эквивалентно \((x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=5\), то есть все сдвиги равны нулю, центр находится в начале координат: \((0,0,0)\). Правая часть есть \(R^{2}\), следовательно радиус равен \(R=\sqrt{5}\). Таким образом, центр \((0,0,0)\), радиус \(\sqrt{5}\).