ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Как по отношению к сфере \((x + 2)^2 + (y — 3)^2 + z^2 = 100\) расположена точка:

1) \(A(-6; 9; -4\sqrt{3})\);

2) \(B(5; 8; -5)\);

3) \(C(-10; -4; 1)\)?

Центр сферы: \(O(-2,\,3,\,0)\), радиус: \(R=\sqrt{100}=10\).

1) Для \(A(-6,\,9,\,-4\sqrt{3})\):
\(OA=\sqrt{(-6+2)^2+(9-3)^2+(-4\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{16+36+48}=10\).
Так как \(OA=R\), точка \(A\) лежит на сфере.

2) Для \(B(5,\,8,\,-5)\):
\(OB=\sqrt{(5+2)^2+(8-3)^2+(-5-0)^2}=\sqrt{49+25+25}=\sqrt{99}<10\).
Так как \(OB<R\), точка \(B\) внутри сферы.

3) Для \(C(-10,\,-4,\,1)\):
\(OC=\sqrt{(-10+2)^2+(-4-3)^2+(1-0)^2}=\sqrt{64+49+1}=\sqrt{114}>10\).
Так как \(OC>R\), точка \(C\) вне сферы.

Центр заданной сферы находится в точке \(O(-2,\,3,\,0)\), поскольку уравнение имеет вид \((x+2)^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}=100\). Радиус вычисляется как \(R=\sqrt{100}=10\). Чтобы определить расположение точки относительно сферы, нужно сравнить расстояние от точки до центра с радиусом: если расстояние равно \(R\), точка лежит на поверхности; если меньше \(R\), точка внутри; если больше \(R\), точка вне. Расстояние \(OP\) для точки \(P(x,\,y,\,z)\) до центра \(O(-2,\,3,\,0)\) вычисляется формулой \(OP=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}}\). Далее последовательно подставим координаты каждой точки и подробно оценим сумму квадратов, чтобы избежать арифметических ошибок и ясно увидеть сравнение с \(R\).

1) Точка \(A(-6,\,9,\,-4\sqrt{3})\). Сначала считаем приращения: по \(x\) имеем \(-6-(-2)=-4\), по \(y\) имеем \(9-3=6\), по \(z\) имеем \(-4\sqrt{3}-0=-4\sqrt{3}\). Квадраты этих приращений равны \((-4)^{2}=16\), \(6^{2}=36\), \((-4\sqrt{3})^{2}=16\cdot3=48\). Складываем: \(16+36+48=100\). Тогда расстояние \(OA=\sqrt{100}=10\). Сравнение даёт \(OA=R\), следовательно точка \(A\) лежит на сфере, так как сумма квадратов точно совпала с правой частью уравнения сферы и расстояние до центра равно её радиусу.

2) Точка \(B(5,\,8,\,-5)\). Приращения: по \(x\) имеем \(5-(-2)=7\), по \(y\) имеем \(8-3=5\), по \(z\) имеем \(-5-0=-5\). Квадраты: \(7^{2}=49\), \(5^{2}=25\), \((-5)^{2}=25\). Складываем: \(49+25+25=99\). Тогда расстояние \(OB=\sqrt{99}\). Поскольку \(\sqrt{99}<\sqrt{100}=10\), получаем \(OB<R\). Это означает, что точка \(B\) расположена внутри сферы: сумма квадратов расстояний по осям не достигает значения правой части уравнения, поэтому фактическое расстояние до центра меньше радиуса.

3) Точка \(C(-10,\,-4,\,1)\). Приращения: по \(x\) имеем \(-10-(-2)=-8\), по \(y\) имеем \(-4-3=-7\), по \(z\) имеем \(1-0=1\). Квадраты: \((-8)^{2}=64\), \((-7)^{2}=49\), \(1^{2}=1\). Складываем: \(64+49+1=114\). Тогда расстояние \(OC=\sqrt{114}\). Так как \(\sqrt{114}>\sqrt{100}=10\), имеем \(OC>R\). Следовательно, точка \(C\) находится вне сферы: сумма квадратов превышает значение в уравнении сферы, поэтому реальное расстояние от точки до центра больше радиуса, и точка лежит за пределами поверхности.