ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если известны координаты её центра \(K\) и радиус \(r\):

1) \(K(2; 5; -12), r = 2\);

2) \(K(0; 5; 11), r = 2\sqrt{5}\).

Уравнение сферы с центром \(K(x_0,y_0,z_0)\) и радиусом \(r\): \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2\).

1) Центр \(K(2;5;-12)\), \(r=2\): \((x-2)^2+(y-5)^2+(z+12)^2=4\).

2) Центр \(K(0;5;11)\), \(r=2\sqrt{5}\): \(x^2+(y-5)^2+(z-11)^2=20\).

1) Общая формула сферы с центром \(K(x_0,y_0,z_0)\) и радиусом \(r\) записывается как \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2\). Подставляем координаты центра \(K(2;5;-12)\): \(x_0=2\), \(y_0=5\), \(z_0=-12\). Тогда сдвиги по осям равны \(x-2\), \(y-5\), \(z-(-12)=z+12\). Радиус \(r=2\), значит \(r^2=4\). Получаем уравнение: \((x-2)^2+(y-5)^2+(z+12)^2=4\). Это описывает множество всех точек, удалённых от точки \(K(2;5;-12)\) на расстояние ровно \(2\), то есть сферу радиуса \(2\). Каждый квадрат соответствует сумме квадратов разностей координат точки \((x,y,z)\) и центра, что равносильно квадрату расстояния по формуле расстояния в пространстве.

2) Аналогично, используем ту же общую формулу \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2\). Для центра \(K(0;5;11)\) имеем \(x_0=0\), \(y_0=5\), \(z_0=11\). Тогда сдвиги: \(x-0=x\), \(y-5\), \(z-11\). Радиус \(r=2\sqrt{5}\), значит \(r^2=(2\sqrt{5})^2=4\cdot 5=20\). Подставляя всё в формулу, получаем уравнение: \(x^2+(y-5)^2+(z-11)^2=20\). Это множество точек в пространстве, находящихся на расстоянии \(2\sqrt{5}\) от точки \(K(0;5;11)\). Квадраты в левой части суммируют квадрат расстояния по осям, а правая часть фиксирует квадрат радиуса, обеспечивая точную сферическую поверхность.

Итого, первая сфера имеет центр со сдвигом по координатам \(x\) на \(2\), по \(y\) на \(5\), по \(z\) на \(-12\), что отражается знаками внутри скобок: \((x-2)\), \((y-5)\), \((z+12)\); вторая сфера имеет центр при \(x_0=0\), поэтому остаётся \(x\) без сдвига, а по остальным осям \((y-5)\) и \((z-11)\). В обеих случаях правая часть равна квадрату радиуса: для \(r=2\) это \(4\), для \(r=2\sqrt{5}\) это \(20\). Поэтому окончательные уравнения совпадают с эталоном: \((x-2)^2+(y-5)^2+(z+12)^2=4\) и \(x^2+(y-5)^2+(z-11)^2=20\).