ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, если известны координаты её центра \(K\) и радиус \(r\):

1) \(M(-3; 1; -8), r = 9\);

2) \(M(9; -10; 0), r = 4\sqrt{2}\).

Первая сфера: центр \(M(-3; 1; -8)\), радиус \(r=9\). Уравнение сферы с центром \((a,b,c)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\). Подставляем: \((x+3)^2+(y-1)^2+(z+8)^2=81\).

Вторая сфера: центр \(M(9; -10; 0)\), радиус \(r=4\sqrt{2}\). Используем ту же формулу и учитываем \(r^2=(4\sqrt{2})^2=32\): \((x-9)^2+(y+10)^2+z^2=32\).

1) Уравнение сферы с центром \(M(a;b;c)\) и радиусом \(r\) задаётся формулой \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\). Для точки центра \(M(-3;1;-8)\) подставляем \(a=-3\), \(b=1\), \(c=-8\). Тогда первый скобочный сдвиг по оси \(x\) равен \(x-(-3)=x+3\), по оси \(y\) равен \(y-1\), по оси \(z\) равен \(z-(-8)=z+8\). Радиус \(r=9\), значит \(r^{2}=9^{2}=81\). В результате получаем уравнение: \((x+3)^{2}+(y-1)^{2}+(z+8)^{2}=81\). Это уравнение описывает все точки пространства, удалённые на расстояние \(9\) от указанного центра: каждая координата смещается на соответствующее значение центра, затем суммируются квадраты и приравниваются к квадрату радиуса.

2) Во втором случае центр \(M(9;-10;0)\), то есть \(a=9\), \(b=-10\), \(c=0\). Тогда сдвиг по оси \(x\) равен \(x-9\), по оси \(y\) равен \(y-(-10)=y+10\), по оси \(z\) равен \(z-0=z\). Радиус \(r=4\sqrt{2}\), поэтому \(r^{2}=(4\sqrt{2})^{2}=16\cdot2=32\). Подставляя эти значения в общую формулу, получаем уравнение: \((x-9)^{2}+(y+10)^{2}+z^{2}=32\). Это выражение фиксирует множество точек, находящихся на расстоянии \(4\sqrt{2}\) от центра \(M(9;-10;0)\): квадраты отклонений по каждой оси суммируются и дают постоянное значение \(32\), что именно и определяет сферу.

3) В обоих примерах ключевая идея одна: расстояние от произвольной точки \((x,y,z)\) до центра \((a,b,c)\) вычисляется по формуле \(\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}\). Чтобы задать сферу радиуса \(r\), требуется, чтобы это расстояние было равно \(r\). Возводя в квадрат, избавляемся от корня и получаем стандартное уравнение сферы \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\). Прямое аккуратное подставление координат центра и вычисление квадрата радиуса даёт итоговые уравнения: \((x+3)^{2}+(y-1)^{2}+(z+8)^{2}=81\) и \((x-9)^{2}+(y+10)^{2}+z^{2}=32\).