ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы с центром в точке \(P(3; -1; 16)\), которая проходит через точку \(M(-2; -4; 13)\).

Найдем радиус как расстояние от центра \(P(3,-1,16)\) до точки \(M(-2,-4,13)\): \(PM=\sqrt{(-2-3)^2+(-4+1)^2+(13-16)^2}=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2+(-3)^2}=\)
\(=\sqrt{25+9+9}=\sqrt{43}\).

Уравнение сферы с центром \(P\) и радиусом \(\sqrt{43}\): \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-16)^2=43\).

Начнем с общей идеи: уравнение сферы в декартовых координатах задается формулой \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\), где \((x_0,y_0,z_0)\) — координаты центра, а \(R\) — радиус сферы. В нашей задаче центр задан как точка \(P(3,-1,16)\), значит подстановкой получаем шаблон \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-16)^2=R^2\). Чтобы уравнение было полным, необходимо найти \(R\). Радиус — это расстояние от центра сферы до любой точки, лежащей на сфере. Нам дана такая точка \(M(-2,-4,13)\), следовательно \(R\) равен длине отрезка \(PM\).

Расстояние между точками в пространстве вычисляется по формуле \(PM=\sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2+(z_M-z_P)^2}\). Подставим координаты: \(x_M=-2,\ y_M=-4,\ z_M=13\) и \(x_P=3,\ y_P=-1,\ z_P=16\). Тогда \(x_M-x_P=-2-3=-5\), \(y_M-y_P=-4-(-1)=-4+1=-3\), \(z_M-z_P=13-16=-3\). Возводим эти приращения в квадрат и суммируем: \((-5)^2=25\), \((-3)^2=9\), \((-3)^2=9\). Получаем \(PM=\sqrt{25+9+9}=\sqrt{43}\). Следовательно \(R=\sqrt{43}\), а значит \(R^2=43\). Именно \(R^2\) входит в правую часть стандартного уравнения сферы.

Теперь вернемся к шаблону уравнения. Подставляя найденное значение \(R^2=43\) в \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-16)^2=R^2\), получаем окончательное уравнение сферы: \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-16)^2=43\). Проверка корректности проста: если подставить координаты точки \(M\) в левую часть, должно получиться ровно \(43\). Действительно, \((-2-3)^2+(-4+1)^2+(13-16)^2=25+9+9=43\), что совпадает с правой частью, значит точка \(M\) лежит на сфере, а центр \(P\) учитывается верно. Утверждение \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-16)^2=54\) неверно, поскольку оно соответствует радиусу \(R=\sqrt{54}\), а реальное расстояние \(PM\) равно \(\sqrt{43}\), что дает правильное уравнение \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-16)^2=43\).