ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 12.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок \(CD\), если \(C(-3; 6; 5)\), \(D(1; -4; -5)\).

Найдём центр сферы как середину диаметра \(CD\):
\(O\left(\frac{-3+1}{2},\,\frac{6+(-4)}{2},\,\frac{5+(-5)}{2}\right)=\left(-1,\,1,\,0\right)\).

Радиус равен половине длины \(CD\):
\(|CD|=\sqrt{(1+3)^2+(-4-6)^2+(-5-5)^2}=\sqrt{4^2+(-10)^2+(-10)^2}=\)
\(=\sqrt{216}=2\sqrt{54}\),
следовательно \(r=\sqrt{54}\).

Уравнение сферы:
\((x+1)^2+(y-1)^2+z^2=54\).

1) Сфера задаётся по центру и радиусу. Так как дан диаметр, сначала находим центр как середину концов \(C(-3;6;5)\) и \(D(1;-4;-5)\). Середина отрезка вычисляется по компонентам: \(\left(\frac{x_{C}+x_{D}}{2},\frac{y_{C}+y_{D}}{2},\frac{z_{C}+z_{D}}{2}\right)\). Подставим координаты: \(\left(\frac{-3+1}{2},\frac{6+(-4)}{2},\frac{5+(-5)}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2},\frac{2}{2},\frac{0}{2}\right)=(-1,1,0)\). Это и есть центр сферы \(O(-1,1,0)\). Каждая координата получается из среднего арифметического соответствующих координат концов диаметра, поэтому точка лежит ровно посередине отрезка \(CD\), что соответствует определению центра сферы, если \(CD\) является её диаметром.

2) Радиус равен половине длины диаметра. Найдём длину \(CD\) по формуле расстояния между точками в пространстве: \(|CD|=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^{2}+(y_{D}-y_{C})^{2}+(z_{D}-z_{C})^{2}}\). Вычислим при данных координатах: \(x_{D}-x_{C}=1-(-3)=4\), \(y_{D}-y_{C}=-4-6=-10\), \(z_{D}-z_{C}=-5-5=-10\). Тогда \(|CD|=\sqrt{4^{2}+(-10)^{2}+(-10)^{2}}=\sqrt{16+100+100}=\sqrt{216}=2\sqrt{54}\). Радиус равен половине этой длины: \(r=\frac{|CD|}{2}=\frac{2\sqrt{54}}{2}=\sqrt{54}\). Здесь важно корректно возвести в степень каждую разность координат и сложить их, так как расстояние определяется через сумму квадратов по осям \(x\), \(y\), \(z\).

3) Уравнение сферы с центром \(O(h,k,l)\) и радиусом \(r\) имеет вид \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=r^{2}\). Подставляя найденные значения \(h=-1\), \(k=1\), \(l=0\) и \(r^{2}=54\), получаем \((x-(-1))^{2}+(y-1)^{2}+(z-0)^{2}=54\), то есть \((x+1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=54\). Это уравнение полностью соответствует записи на фото: центр смещает \(x\) на \(+1\), \(y\) на \(-1\), а \(z\) остаётся без смещения, квадрат радиуса равен \(54\), что отражает вычисленную длину диаметра и её половину.