ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны сфера радиуса 6 см и плоскость \(\alpha\). Каким должно быть расстояние от центра сферы до плоскости \(\alpha\), чтобы:

1) сфера и плоскость не имели общих точек;

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

1) Расстояние от центра до плоскости должно быть больше радиуса: \(d>6\).

2) Плоскость касается сферы, значит расстояние равно радиусу: \(d=6\).

3) Плоскость пересекает сферу по окружности, если она проходит внутри сферы: \(0<d<6\).

4) Наибольшая длина окружности получается при прохождении плоскости через центр сферы (большой круг): \(d=0\).

1) Чтобы сфера радиуса \(R=6\) и плоскость \(\alpha\) не имели общих точек, расстояние \(d\) от центра сферы \(O\) до плоскости должно превышать радиус. Это следует из того, что все точки сферы находятся на расстоянии ровно \(R\) от центра, а ближайшие к \(\alpha\) точки сферы лежат на луче, перпендикулярном \(\alpha\), проходящем через \(O\). Если \(d>R\), то даже ближайшая точка сферы к плоскости будет на расстоянии \(d-R>0\), значит общих точек нет: \(d>6\). При \(d>6\) множество пересечения равно \(\emptyset\).

2) Одна общая точка возникает в случае касания: плоскость касается сферы, когда расстояние от центра равно радиусу. Геометрически это означает, что перпендикуляр из \(O\) к \(\alpha\) достигает плоскости в точке касания, и радиус, проведённый к этой точке, перпендикулярен \(\alpha\). Тогда окружность сечения вырождается в одну точку, поскольку плоскость касается поверхности по единственной точке. Условие касания записывается как \(d=R\), то есть \(d=6\).

3) Пересечение по окружности возникает, когда плоскость проходит внутри сферы, но не через центр. В таком случае все точки пересечения имеют расстояние \(R\) от центра, а их геометрическое место в плоскости образует окружность радиуса \(r\), где по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \(d\) и \(r\) и гипотенузой \(R\) выполняется \(r^{2}=R^{2}-d^{2}\). Для существования ненулевой окружности нужно \(0<d<R\), то есть \(0<d<6\). Тогда длина окружности равна \(2\pi r=2\pi\sqrt{R^{2}-d^{2}}\), что положительно и конечна при указанном условии.

4) Наибольшая возможная длина окружности сечения достигается, когда радиус этой окружности максимален. Из формулы \(r^{2}=R^{2}-d^{2}\) видно, что \(r\) максимален при минимальном \(d\). Плоскость, проходящая через центр сферы, даёт \(d=0\), тогда \(r=R\), а длина окружности максимальна: \(2\pi R\). Следовательно, для окружности наибольшей длины необходимо расположить плоскость через центр, то есть \(d=0\).