ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите длину линии пересечения сферы с плоскостью, удалённой от центра сферы на 2 см, если радиус сферы, проведённый в одну из точек сечения, образует с плоскостью сечения угол \(30^\circ\).

Дано: \(d=2\) см, угол между радиусом сферы и плоскостью сечения \(30^\circ\).

Краткое решение: образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой \(R\) и катетами \(d\) и \(r\). Тогда \(d=R\cos30^\circ\), \(r=R\sin30^\circ\). Получаем \(R=\frac{2}{\cos30^\circ}=\frac{4}{\sqrt{3}}\), \(r=R\sin30^\circ=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\). Длина окружности сечения: \(C=2\pi r=2\pi\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=4\pi\frac{1}{\sqrt{3}}=4\pi\sqrt{3}\) см.

1) Рассматриваем сечение сферы плоскостью под углом \(30^\circ\) к радиусу сферы. Пусть \(R\) — радиус сферы, \(r\) — радиус окружности сечения, \(d=2\) см — расстояние от центра сферы до плоскости. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(R\) и катетами \(d\) и \(r\) угол между \(R\) и плоскостью равен \(30^\circ\). Тогда выполняются соотношения проекций: \(d=R\cos 30^\circ\) и \(r=R\sin 30^\circ\). Это следует из того, что проекция радиуса \(R\) на перпендикуляр к плоскости равна \(R\cos 30^\circ\), а проекция на саму плоскость, являющаяся радиусом окружности сечения, равна \(R\sin 30^\circ\).

2) Подставляя \(d=2\) см в равенство \(d=R\cos 30^\circ\) и используя \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(2=R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(R=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\) см. Далее находим \(r\) по формуле \(r=R\sin 30^\circ\). Так как \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\), имеем \(r=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\) см. Проверка по теореме Пифагора подтверждает согласованность: \(r^{2}+d^{2}=R^{2}\), то есть \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}+2^{2}=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2}\).

3) Длина окружности сечения равна \(C=2\pi r\). Подставляя \(r=\frac{2}{\sqrt{3}}\), получаем \(C=2\pi\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4\pi}{\sqrt{3}}\) см. Умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) для рационализации, получаем окончательный ответ: \(C=4\pi\sqrt{3}\) см.