ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы.

Так как расстояния от плоскостей сечений до центра сферы равны, то равны и соответствующие отрезки \(OC_1=OC_2=d\).

Радиус каждого кругового сечения равен \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\). При одинаковом \(d\) получаем одинаковые значения \(r\), следовательно, радиусы сечений равны.

1) Рассмотрим сферу радиуса \(R\) с центром \(O\). Пусть две плоскости секущие сферу расположены так, что их расстояния до центра равны: для первой плоскости расстояние \(d\), для второй то же самое расстояние \(d\). Обозначим перпендикуляры от \(O\) к плоскостям через \(OC_1\) и \(OC_2\). Тогда по определению равного удаления имеем \(OC_1=OC_2=d\). Каждое сечение сферы плоскостью есть окружность с центром в точке проекции \(C\) на плоскость, а радиус окружности выражается через \(R\) и \(d\).

2) Для вывода формулы радиуса воспользуемся прямоугольным треугольником, образованным радиусом сферы \(OA\) к точке \(A\) на окружности сечения, перпендикуляром \(OC\) к плоскости сечения и радиусом окружности \(CA\) в этой плоскости. В этом треугольнике угол при \(C\) прямой, а гипотенуза равна \(OA=R\), один катет равен \(OC=d\). Тогда по теореме Пифагора радиус окружности сечения равен \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\). Эта формула показывает, что радиус сечения зависит только от радиуса сферы и расстояния плоскости до центра, а не от наклона или положения плоскости в пространстве при фиксированном \(d\).

3) Так как для обеих рассматриваемых плоскостей расстояние одинаково, то подстановка одного и того же \(d\) в формулу даёт одинаковые значения радиусов: \(r_1=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\) и \(r_2=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\), следовательно, \(r_1=r_2\). Иными словами, поскольку \(OC_1=OC_2=d\), то равны и радиусы соответствующих кругов сечения. Значит, сечения сферы плоскостями, равноудалёнными от её центра, имеют равные радиусы.