ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет сечение, плоскость которого менее удалена от центра сферы.

Пусть дана сфера радиуса \(R\) с центром \(O\). Рассмотрим две плоскости, на расстояниях \(d_1\) и \(d_2\) от центра, где \(0 \le d_1 < d_2 \le R\). Радиусы кругов сечения равны соответственно \(r_1\) и \(r_2\).

По теореме Пифагора для любого сечения сферы: \(r^2 = R^2 — d^2\). Следовательно, \(r_1^2 = R^2 — d_1^2\) и \(r_2^2 = R^2 — d_2^2\).

Так как \(d_1 < d_2\), то \(R^2 — d_1^2 > R^2 — d_2^2\), значит \(r_1^2 > r_2^2\), откуда \(r_1 > r_2\).

Итак, чем ближе плоскость к центру сферы (меньше \(d\)), тем больше радиус сечения.

1) Рассмотрим сферу радиуса \(R\) с центром \(O\). Пусть две плоскости пересекают сферу и находятся на расстояниях \(d_1\) и \(d_2\) от центра соответственно, где \(0 \le d_1 < d_2 \le R\). Каждое сечение сферой плоскостью представляет собой круг. Обозначим радиусы этих кругов через \(r_1\) и \(r_2\). Геометрически радиус сечения связан с радиусом сферы и расстоянием от плоскости до центра: если провести перпендикуляр от \(O\) к плоскости сечения и рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы \(R\), расстоянием \(d\) и радиусом искомого круга \(r\), то по теореме Пифагора верно соотношение \(r^2 + d^2 = R^2\).

2) Применяя указанную связь к каждому из сечений, получаем формулы \(r_1^2 = R^2 — d_1^2\) и \(r_2^2 = R^2 — d_2^2\). Так как \(d_1 < d_2\), то из монотонности функции \(f(d) = R^2 — d^2\) на отрезке \([0, R]\) следует неравенство \(R^2 — d_1^2 > R^2 — d_2^2\), то есть \(r_1^2 > r_2^2\). Поскольку радиусы \(r_1\) и \(r_2\) неотрицательны, из неравенства квадратов следует сравнение самих радиусов: \(r_1 > r_2\). Таким образом, чем меньше расстояние плоскости от центра сферы, тем больше радиус круга, получающегося в сечении.

3) Интуитивная интерпретация: при \(d = 0\) плоскость проходит через центр, и сечение имеет максимальный радиус \(r_{\max} = R\), поскольку тогда \(r^2 = R^2 — 0^2\). По мере увеличения \(d\) от \(0\) до \(R\) радиус сечения убывает по формуле \(r(d) = \sqrt{R^2 — d^2}\) и достигает нуля при \(d = R\), когда плоскость касается сферы. Следовательно, функция радиуса сечения строго убывает по \(d\) на интервале \(0 \le d < R\), что непосредственно подтверждает вывод: из двух сечений большее сечение определяется той плоскостью, которая ближе к центру сферы.