ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Чему равен радиус сферы, касающейся плоскостей \(y = -4\) и \(y = 10\)?

Ищем сферу, касающуюся параллельных плоскостей \(y=-4\) и \(y=10\). Центр сферы имеет координату по \(y\), равную середине между плоскостями: \(y_c=\frac{-4+10}{2}=3\). Расстояние от центра до каждой плоскости равно радиусу: \(r=|3-10|=7\) (то же самое \(r=|3-(-4)|=7\)).

Ответ: \(r=7\).

Рассматриваются две параллельные плоскости \(y=-4\) и \(y=10\). Сфера касается обеих, значит центр сферы лежит на линии, перпендикулярной этим плоскостям, то есть на оси \(Oy\). Для касания к двум параллельным плоскостям расстояние от центра до каждой из них равно радиусу, а сам центр расположен ровно посередине между плоскостями. Поэтому координата центра по оси \(y\) находится как среднее значение: \(y_c=\frac{-4+10}{2}=3\). Этот шаг гарантирует, что сфера будет на одинаковом удалении от обеих плоскостей.

Далее вычислим радиус как расстояние от центра до любой из плоскостей. Расстояние от точки с координатой \(y=3\) до плоскости \(y=10\) равно модулю разности координат: \(r=|3-10|=7\). Проверим симметрично для второй плоскости: расстояние до плоскости \(y=-4\) равно \(r=|3-(-4)|=|3+4|=7\). Совпадение значений подтверждает, что выбранный центр действительно обеспечивает касание к обеим плоскостям.

Итак, искомый радиус сферы, одновременно касающейся плоскостей \(y=-4\) и \(y=10\), равен \(r=7\).