ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера, радиус которой равен \(R\), касается граней двугранного угла, равного \(\alpha\). Найдите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

Пусть расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно \(d\). Тогда расстояние от центра до каждой грани равно \(R\), а проекция \(d\) на плоскость перпендикулярную ребру образует прямоугольный треугольник с катетами \(d\cos\frac{\alpha}{2}\) и \(R\). Из геометрии двугранного угла: \(R^{2}=d^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\).

Отсюда \(R^{2}=\frac{3d^{2}}{4}\), следовательно \(d^{2}=\frac{4R^{2}}{3}\), значит \(d=\frac{2R}{\sqrt{3}}\).

1) Рассмотрим двугранный угол с ребром и двумя гранями, пересекающимися под углом \(\alpha\). Сфера радиуса \(R\) касается обеих граней, значит расстояние от центра сферы до каждой из этих граней равно \(R\). Обозначим расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла через \(d\). Тогда в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру и проходящей через центр сферы, получаем задачу о расстояниях от точки до двух пересекающихся линий под углом \(\alpha\). В этом сечении ребро переходит в точку, а две грани переходят в две прямые, симметричные относительно биссектрисы, образующие угол \(\alpha\).

2) В указанном сечении центр сферы проецируется в точку, от которой перпендикуляры на обе прямые имеют одинаковую длину \(R\), поскольку сфера касается граней. Пусть перпендикуляр от центра на биссектрису угла равен \(d\). Тогда проекция \(d\) на направление любой из прямых даёт связь между \(d\) и \(R\): катет, лежащий на биссектрисе, равен \(d\), а катеты, перпендикулярные к прямым, равны \(R\). По теореме Пифагора для треугольника, построенного из половины расстояния между перпендикулярами, получаем выражение для радиуса через \(d\): \(R^{2}=d^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\). Это равенство соответствует рисунку: из квадрата гипотенузы \(d^{2}\) вычитается квадрат половины основания \(\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\), что даёт квадрат высоты \(R^{2}\).

3) Преобразуем найденное равенство. Из \(R^{2}=d^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\) следует \(R^{2}=d^{2}-\frac{d^{2}}{4}=\frac{3d^{2}}{4}\). Отсюда выражаем \(d^{2}=\frac{4R^{2}}{3}\). Переходя к \(d\), получаем окончательный ответ: \(d=\frac{2R}{\sqrt{3}}\). Таким образом, расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла выражается через радиус сферы как \(\frac{2R}{\sqrt{3}}\), что согласуется с вычислениями на изображении и получается из геометрической конфигурации касаний и прямоугольного сечения.