ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние от центра шара, касающегося граней двугранного угла, до его ребра равно 8 см. Найдите площадь большого круга шара, если величина двугранного угла равна \(120^\circ\).

Дано: расстояние от центра шара до ребра двугранного угла \(d=8\) см, величина угла \(120^\circ\).

Идея: радиус шара, касающегося обеих граней, образует с перпендикуляром к ребру равнобедренный треугольник; проекция радиуса на плоскость перпендикулярную ребру равна \(R\), а расстояние до ребра — \(d\). Тогда \(R^2=d^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\), где \(a\) — расстояние между касательными плоскостями; при угле \(120^\circ\) получаем \(\frac{a}{2}=4\).

Вычисление: \(R^2=8^2-4^2=64-16=48\), значит \(R=4\sqrt{3}\) см.

Площадь большого круга: \(S=\pi R^2=\pi\cdot48=48\pi\ \text{см}^2\).

1) Рассматриваем сферу, вписанную в двугранный угол величиной \(120^\circ\), так что она касается обеих граней. Центр сферы лежит на биссекторной плоскости угла и на линии, перпендикулярной ребру. Расстояние от центра сферы до ребра равно \(d=8\) см. Геометрически это расстояние образует катет в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — радиус сферы \(R\), а второй катет связан с половиной расстояния между касательными линиями, возникающими при проекции задачи на плоскость, перпендикулярную ребру. Для двугранного угла в \(120^\circ\) половина линейного зазора соответствует проекции \(R\) на направление нормали к одной из граней, что дает стандартную зависимость между \(R\) и \(d\).

2) В сечении плоскостью, перпендикулярной ребру, получаем две лучевые линии, образующие угол \(120^\circ\). Центр окружности (сечения сферы) лежит на их биссекторе, а расстояние от центра до вершины (проекции ребра) равно \(d=8\). В этом сечении радиус \(R\) разлагается на компоненты: одна направлена к точке касания с одной гранью, другая — перпендикулярна ребру. При угле \(120^\circ\) половина угла равна \(60^\circ\), а проекция радиуса на направление к ребру дает катет длины \(\frac{a}{2}\), связанный с \(R\) через синус \(60^\circ\). Стандартная запись решения, применяемая в учебных задачах, использует формулу \(R^{2}=d^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\) с учетом геометрии сечения; для угла \(120^\circ\) принимается \(\frac{a}{2}=4\) см, что соответствует компоненте, отсекаемой угловой конфигурацией при касании.

3) Подставляем данные: \(R^{2}=8^{2}-4^{2}=64-16=48\), откуда \(R=4\sqrt{3}\) см. Площадь большого круга сферы равна площади максимального сечения, то есть площади круга радиуса \(R\): \(S=\pi R^{2}\). Следовательно, \(S=\pi\cdot48=48\pi\ \text{см}^{2}\).