ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 26 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его стороны равны 12 см и 16 см

Дано: прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см вписан в сферу радиуса 26 см. Диагональ прямоугольника \(d=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144+256}=20\) см — это диаметр описанной вокруг прямоугольника окружности, значит радиус этой окружности \(r=\frac{d}{2}=10\) см.

Расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника \(h\) находим из прямоугольного треугольника с гипотенузой \(R=26\) и катетом \(r=10\): \(h=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=\sqrt{676-100}=24\) см.

1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см, вершины которого лежат на сфере радиуса 26 см. Сначала найдем диагональ прямоугольника, так как она является диаметром окружности, описанной вокруг прямоугольника. По теореме Пифагора для диагонали \(d\) имеем: \(d=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\) см. Эта окружность лежит в плоскости прямоугольника и проходит через все его вершины. Радиус описанной окружности равен половине диагонали прямоугольника: \(r=\frac{d}{2}=\frac{20}{2}=10\) см.

2. Центр сферы находится на перпендикуляре к плоскости прямоугольника, проходящем через центр описанной вокруг прямоугольника окружности. Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются центр сферы, центр окружности в плоскости прямоугольника и любая вершина прямоугольника. Этот треугольник прямоугольный: один катет равен радиусу окружности \(r=10\) см (расстояние от центра окружности до вершины прямоугольника в плоскости), а гипотенуза равна радиусу сферы \(R=26\) см (расстояние от центра сферы до той же вершины). Второй катет как раз и есть искомое расстояние \(h\) от центра сферы до плоскости прямоугольника.

3. По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника получаем формулу связи \(R\), \(r\) и \(h\): \(R^{2}=r^{2}+h^{2}\). Отсюда \(h=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\) см. Следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника равно 24 см.