ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние между равновеликими параллельными сечениями шара, радиус которого 15 см, равно 18 см. Найдите площадь каждого из этих сечений.

Дано: \(R=15\) см, \(d=18\) см. Найти: \(S_{\text{осн}}\).

Находим радиус внутреннего круга: \(r^2=R^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2=15^2-9^2=225-81=144\), значит \(r=12\) см.

Площадь: \(S=\pi r^2=\pi\cdot144=144\pi\ \text{см}^2\).

1) Дано: \(R=15\) см — радиус большого круга, \(d=18\) см — хорда (или расстояние между двумя параллельными касательными), из которой берём половину как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой \(R\). Половина хорды равна \(\frac{d}{2}=9\) см. В таком треугольнике радиус искомого внутреннего круга \(r\) является вторым катетом, поэтому по теореме Пифагора выполняется связь \(R^{2}=r^{2}+\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\). Отсюда выражаем \(r^{2}=R^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\).

2) Подставим значения: \(r^{2}=15^{2}-9^{2}=225-81=144\). Так как речь о длине, берём положительное значение корня: \(r=\sqrt{144}=12\) см. Этот результат согласуется с геометрией задачи: чем меньше хорда при фиксированном \(R\), тем больше расстояние от центра до края «свободной» области, то есть \(r\) должен быть заметно меньше \(R\), что и получаем \(12<15\).

3) Площадь искомого круга вычисляется по формуле \(S=\pi r^{2}\). Подставляя найденный радиус, получаем \(S=\pi\cdot 12^{2}=\pi\cdot 144=144\pi\ \text{см}^{2}\). Таким образом, по шагам: сначала через теорему Пифагора нашли \(r^{2}\), затем извлекли \(r\), и, наконец, подставили \(r\) в формулу площади круга, что даёт окончательный ответ \(144\pi\ \text{см}^{2}\).