ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диаметр сферы равен 20 см, а расстояние от её центра до плоскости \(\alpha\) равно 12 см. Имеют ли данная сфера и плоскость \(\alpha\) общие точки?

Радиус сферы: \(r=\frac{20}{2}=10\text{ см}\).

Расстояние от центра до плоскости: \(d=12\text{ см}\).

Если \(d>r\), то сфера и плоскость не пересекаются: \(12>10\Rightarrow\) общих точек нет.

Ответ: \(\emptyset\).

1) Диаметр сферы равен 20 см, значит радиус равен половине диаметра: \(r=\frac{20}{2}=10\text{ см}\). Расстояние от центра сферы до плоскости дано: \(d=12\text{ см}\). Эти две величины сопоставляют, насколько близко плоскость подходит к сфере: если плоскость проходит на расстоянии, меньшем или равном радиусу, она либо касается сферы, либо пересекает её; если больше радиуса, то плоскость проходит вне сферы.

2) Формальный критерий пересечения следующий: при \(d<r\) плоскость пересекает сферу по окружности; при \(d=r\) плоскость касается сферы в одной точке; при \(d>r\) общих точек нет. Подставляя значения, получаем сравнение \(12\) и \(10\): выполняется \(12>10\), то есть \(d>r\). Следовательно, плоскость располагается дальше от центра, чем радиус сферы, и не достигает её поверхности.

3) Геометрически это означает, что вся сфера лежит внутри шара радиуса \(r=10\text{ см}\) вокруг центра, а плоскость удалена от центра на \(d=12\text{ см}\), то есть на \(2\text{ см}\) больше, чем требуется, чтобы «дотронуться» до поверхности сферы. Поэтому отсутствуют точки, одновременно принадлежащие и сфере, и плоскости.

Ответ: \(\emptyset\).