ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На радиусе \(OA\) сферы с центром \(O\) отмечены точки \(B\) и \(C\), причём точка \(B\) лежит между точками \(O\) и \(C\). Через каждую из точек \(B\) и \(C\) проведена плоскость, перпендикулярная прямой \(OA\). Окружности, образовавшиеся в сечении, имеют длины \(24\pi\) см и \(18\pi\) см, а расстояние между этими плоскостями равно 3 см. Найдите радиус сферы.

Дано: длины окружностей оснований усечённого конуса \(C_1=24\pi\) и \(C_2=18\pi\).

Найти радиус шара \(R\), вписанного в конус, образованный продолжением боковой поверхности.

1) Находим радиусы оснований: \(C_1=2\pi r_1 \Rightarrow r_1=12\) см; \(C_2=2\pi r_2 \Rightarrow r_2=9\) см.

2) Радиус шара равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(r_1\) и \(r_2\): \(R^2=r_1^2+r_2^2\).

Ответ: \(R=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=15\) см.

1) Даны длины окружностей двух оснований усечённого конуса: \(C_1=24\pi\) и \(C_2=18\pi\). По формуле длины окружности \(C=2\pi r\) находим радиусы оснований. Для большего основания: \(C_1=2\pi r_1 \Rightarrow r_1=\frac{C_1}{2\pi}=\frac{24\pi}{2\pi}=12\) см. Для меньшего основания: \(C_2=2\pi r_2 \Rightarrow r_2=\frac{C_2}{2\pi}=\frac{18\pi}{2\pi}=9\) см. Таким образом, радиусы оснований усечённого конуса равны \(r_1=12\) см и \(r_2=9\) см; эти значения непосредственно следуют из пропорциональности длины окружности её радиусу.

2) В рассматриваемой задаче шар касается образующей полного конуса, полученного продолжением боковой поверхности, а также плоскостей оснований. Центр шара лежит на оси конуса, и геометрическая модель сводится к прямоугольному треугольнику, у которого катеты равны радиусам оснований \(r_1\) и \(r_2\), а гипотенуза равна радиусу искомого шара \(R\). Это следует из подобия сечений и перпендикулярности радиусов касательным плоскостям: от центра шара к окружностям касания откладываются отрезки длиной \(r_1\) и \(r_2\), взаимно перпендикулярные, что и образует прямой угол между ними.

3) По теореме Пифагора для этого треугольника получаем связь \(R^2=r_1^2+r_2^2\). Подставляя найденные значения, имеем \(R^2=12^2+9^2=144+81=225\). Тогда \(R=\sqrt{225}=15\) см. Следовательно, численно радиус шара равен \(15\) см; численная проверка согласуется с вычисленными радиусами оснований, так как сумма квадратов \(12^2\) и \(9^2\) действительно даёт \(225\), что подтверждает корректность выбора модели и расчётов.