ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку \(A(-12; 3; -4)\), принадлежащую сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 169\), проведена плоскость, перпендикулярная оси абсцисс. Найдите длину окружности, образовавшейся в сечении.

Плоскость перпендикулярна оси \(Ox\) имеет уравнение \(x=-12\). Сфера \(x^2+y^2+z^2=169\) имеет центр \(O(0,0,0)\) и радиус \(R=13\). Расстояние от центра до плоскости: \(d=|0-(-12)|=12\). Радиус окружности сечения: \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\). Длина окружности: \(C=2\pi r=2\pi\cdot 5=10\pi\) см.

1) Сфера задана уравнением \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=169\). Отсюда её центр \(O(0,0,0)\), а радиус \(R=\sqrt{169}=13\). Точка \(A(-12;3;-4)\) принадлежит сфере, что согласуется, так как \( (-12)^{2}+3^{2}+(-4)^{2}=144+9+16=169 \). Плоскость, перпендикулярная оси \(Ox\), имеет вид \(x=\text{const}\). Поскольку через точку \(A\) нужно провести такую плоскость, получаем уравнение сечения \(x=-12\).

2) Чтобы найти окружность сечения сферы плоскостью \(x=-12\), вычислим расстояние от центра сферы до этой плоскости. Для плоскости \(x=c\) расстояние от точки \(O(0,0,0)\) равно \(d=|0-c|\). Здесь \(c=-12\), следовательно \(d=|0-(-12)|=12\). Геометрически это означает, что мы срезаем сферу плоскостью, отстоящей на \(12\) от центра при радиусе сферы \(13\); значит, получаем окружность, лежащую в плоскости \(x=-12\).

3) Радиус окружности сечения на сфере определяется по теореме Пифагора в перпендикулярном сечении: \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\). Подставляя найденные значения, имеем \(r=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\). Это радиус круга, являющегося геометрическим сечением; граница круга — искомая окружность.

4) Длина окружности выражается формулой \(C=2\pi r\). Подставляя \(r=5\), получаем \(C=2\pi\cdot 5=10\pi\). Единицы длины сохраняются от единиц, в которых задано пространство (на чертеже в условии указано см), поэтому итоговая длина окружности равна \(10\pi\) см.

5) Итог: плоскость \(x=-12\) отсекает от сферы окружность радиуса \(5\) благодаря соотношению \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\) при \(R=13\) и \(d=12\); длина этой окружности равна \(C=10\pi\) см, что согласуется с вычислениями на изображении.