ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку \(B(2; -3; 6)\), принадлежащую сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 49\), проведена плоскость, перпендикулярная оси аппликат. Найдите площадь образовавшегося сечения шара, ограниченного данной сферой.

Плоскость перпендикулярна оси \(Oz\) ⇒ имеет вид \(z=c\). Через точку \(B(2,-3,6)\) получаем \(c=6\).

Сфера: \(x^2+y^2+z^2=49\) ⇒ радиус шара \(R=7\). Сечение плоскостью \(z=6\) — окружность с радиусом \(r=\sqrt{R^2-c^2}=\sqrt{49-36}= \sqrt{13}\).

Площадь круга сечения: \(S=\pi r^2=\pi\cdot 13=13\pi\ \text{см}^2\).

1) Плоскость перпендикулярна оси аппликат \(Oz\), значит её нормаль параллельна оси \(Oz\), а уравнение имеет вид \(z=c\). Требование «проходит через точку \(B(2;-3;6)\)» означает подстановка координаты \(z\) этой точки: \(6=c\). Следовательно, искомая плоскость имеет уравнение \(z=6\). Эта плоскость «горизонтальна» и отсекает у шара круговое сечение, центр которого лежит на оси \(Oz\) на высоте \(z=6\).

2) Дана сфера \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=49\). Это сфера с центром в начале координат и радиусом \(R=\sqrt{49}=7\). Чтобы найти радиус окружности сечения, используем факт: сечение сферы плоскостью \(z=c\) есть окружность с радиусом \(r\), который находится из прямоугольного треугольника, образованного радиусом \(R\), расстоянием от центра сферы до плоскости \(|c|\) и радиусом сечения \(r\). По теореме Пифагора: \(r=\sqrt{R^{2}-c^{2}}\). В нашем случае расстояние от центра \((0;0;0)\) до плоскости \(z=6\) равно \(|6|=6\), поэтому \(r=\sqrt{7^{2}-6^{2}}=\sqrt{49-36}=\sqrt{13}\).

3) Площадь искомого кругового сечения равна площади круга радиуса \(r\): \(S=\pi r^{2}\). Подставляя найденный радиус, получаем \(S=\pi\cdot(\sqrt{13})^{2}=\pi\cdot 13=13\pi\ \text{см}^{2}\). Ответ согласуется с тем, что сечение не вырождено, так как \(|c|=6<R=7\), следовательно, круг существует и его площадь положительна. Итог: \(S=13\pi\ \text{см}^{2}\).