ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Какая фигура является геометрическим местом центров сфер, которые:

1) касаются данной плоскости в данной точке;

2) имеют данный радиус и касаются данной плоскости?

1) Центры всех сфер, касающихся данной плоскости в фиксированной точке \(A\), лежат на прямой, перпендикулярной плоскости в точке \(A\). Касание означает, что радиус проведён в точку касания перпендикулярен плоскости, значит все возможные центры находятся на линии действия этого радиуса — оси, проходящей через \(A\) и перпендикулярной плоскости.

2) Если радиус задан \(r\), то центр сферы, касающейся плоскости, должен находиться на расстоянии \(r\) от неё. Геометрическое место таких точек — плоскость, параллельная данной и отстоящая от неё на расстояние \(r\).

1) Рассмотрим фиксированную плоскость \(\pi\) и фиксированную точку касания \(A \in \pi\). По определению касания сферы и плоскости радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости: если \(O\) — центр сферы, касающейся \(\pi\) в точке \(A\), то отрезок \(OA\) является радиусом и выполнено \(OA \perp \pi\). Следовательно, любая допустимая позиция центра \(O\) должна лежать на единственной прямой \(l\), которая проходит через точку \(A\) и перпендикулярна плоскости \(\pi\). Обратно, для любой точки \(O\) на прямой \(l\) можно провести сферу с радиусом \(r=OA\), и эта сфера будет касаться \(\pi\) именно в \(A\), поскольку нормаль к плоскости в \(A\) совпадает с направлением \(OA\). Таким образом, геометрическое место центров есть прямая \(l\), перпендикулярная \(\pi\) и проходящая через \(A\).

2) Теперь задан радиус \(r>0\) и плоскость \(\pi\). Центр \(O\) сферы, касающейся \(\pi\), обязан находиться на расстоянии ровно \(r\) от \(\pi\), поскольку кратчайшее расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра: если сфера касательная, то расстояние от \(O\) до \(\pi\) равно длине радиуса, то есть \(\mathrm{dist}(O,\pi)=r\). Множество всех точек пространства, удалённых от плоскости \(\pi\) на постоянное расстояние \(r\), образует две плоскости \(\pi_{1}\) и \(\pi_{2}\), обе параллельные \(\pi\) и расположенные по разные стороны от неё на расстоянии \(r\). Для любой точки \(O\) из \(\pi_{1}\) или \(\pi_{2}\) существует единственная сфера радиуса \(r\) с центром \(O\), которая будет касаться \(\pi\). И наоборот, любой центр такой сферы обязательно лежит на одной из этих двух параллельных плоскостей, так как \(\mathrm{dist}(O,\pi)=r\). Следовательно, геометрическое место центров — это две плоскости, параллельные данной и отстоящие от неё на \(r\).