ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус сферы равен 40 см. Точка \(A\), принадлежащая плоскости, касающейся этой сферы, удалена от точки касания на 9 см. Найдите расстояние от точки \(A\) до ближайшей к ней точки сферы.

Треугольник \(OAT\) прямоугольный при \(T\), так как \(OT\) перпендикулярен плоскости касания, а \(AT\) лежит в этой плоскости. Поэтому \(OA=\sqrt{OT^{2}+AT^{2}}=\sqrt{40^{2}+9^{2}}=\sqrt{1681}=41\).

Кратчайшее расстояние от внешней точки до сферы равно \(OA-R\). Следовательно, \(d=41-40=1\) см.

1) Рассмотрим геометрию задачи: дана сфера радиуса \(R=40\) см и плоскость, касающаяся этой сферы в точке касания \(T\). Центр сферы обозначим \(O\). По свойству касательной плоскости радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен плоскости касания, то есть \(OT \perp \text{(плоскость)}\). Точка \(A\) лежит в этой плоскости и удалена от точки \(T\) на \(AT=9\) см. Таким образом, отрезок \(OT\) является перпендикуляром к плоскости, а \(AT\) — отрезок в плоскости, проходящий от точки касания. Векторно это означает, что треугольник \(OAT\) прямоугольный с прямым углом при \(T\), так как \(OT \perp\) плоскости, а \(AT\) — в плоскости, следовательно, \(OT \perp AT\).

2) Теперь найдём расстояние от \(A\) до центра сферы \(O\). В прямоугольном треугольнике \(OAT\) гипотенузой является \(OA\), а катетами — \(OT=R=40\) и \(AT=9\). По теореме Пифагора имеем: \(OA=\sqrt{OT^{2}+AT^{2}}=\sqrt{40^{2}+9^{2}}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41\). Важно подчеркнуть, что данное вычисление показывает: точка \(A\) находится вне сферы, так как расстояние до центра \(OA=41\) строго больше радиуса \(R=40\). Следовательно, ближайшая к \(A\) точка сферы лежит на луче, идущем от \(A\) к \(O\), то есть на прямой \(AO\), поскольку кратчайший путь от внешней точки до сферы — по нормали к сфере, направленной к центру.

3) Расстояние от внешней точки \(A\) до поверхности сферы равно разности между расстоянием до центра и радиусом, то есть \(d=OA-R\). Подставляя найденное значение, получаем: \(d=41-40=1\) см. Интерпретационно это означает, что, двигаясь из точки \(A\) вдоль прямой к центру \(O\), мы сначала проходим расстояние \(1\) см до точки пересечения с поверхностью сферы — это и есть кратчайшее расстояние. Все построения согласованы: перпендикулярность \(OT\) плоскости гарантирует прямоугольность треугольника \(OAT\), а применение теоремы Пифагора к катетам \(40\) и \(9\) приводит к целочисленной гипотенузе \(41\), что наглядно подтверждает результат. Ответ: \(1\) см.