ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку \(M\) сферы радиуса 112 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости отмечена точка \(K\), расстояние от которой до наиболее удалённой от неё точки сферы равно 225 см. Найдите расстояние между точками \(M\) и \(K\).

Пусть \(O\) — центр сферы радиуса \(R=112\) см, \(M\) — точка касания плоскости \(\pi\), \(K \in \pi\). Тогда \(OM \perp \pi\), треугольник \(OMK\) прямоугольный, и при обозначении \(a=OK\), \(d=MK\) выполняется \(a^{2}=R^{2}+d^{2}\).

Наиболее удалённая от \(K\) точка сферы лежит на продолжении луча \(KO\), поэтому максимальное расстояние равно \(OK+R\). По условию \(OK+R=225\), значит \(a=225-112=113\).

Из \(a^{2}=R^{2}+d^{2}\) получаем \(d^{2}=a^{2}-R^{2}=113^{2}-112^{2}=(113-112)(113+112)=1\cdot 225=225\), следовательно \(d=\sqrt{225}=15\) см.

1) Пусть \(O\) — центр сферы радиуса \(R=112\) см, а \(M\) — точка касания плоскости \(\pi\) со сферой. Так как \(\pi\) касается сферы в точке \(M\), то радиус \(OM\) перпендикулярен плоскости \(\pi\), следовательно, \(OM \perp \pi\) и \(OM=R\). На плоскости \(\pi\) отмечена точка \(K\). Обозначим через \(d=MK\) искомое расстояние от точки касания до точки \(K\), а через \(a=OK\) — расстояние от центра сферы до точки \(K\). Тогда треугольник \(OMK\) прямоугольный, поскольку \(OM \perp \pi\) и \(K \in \pi\). В таком треугольнике \(OK\) является гипотенузой, а \(OM\) и \(MK\) — катетами, то есть выполняется соотношение \(OK^{2}=OM^{2}+MK^{2}\). Таким образом, мы имеем основную для задачи связь \(a^{2}=R^{2}+d^{2}\), где все величины — неотрицательные длины. Эта геометрическая конструкция фиксирует взаимное расположение точки \(K\) и центра \(O\) через перпендикуляр от \(O\) к касательной плоскости \(\pi\).

2) По условию известно, что расстояние от \(K\) до наиболее удалённой от неё точки сферы равно \(225\) см. Для любой внешней точки \(K\) максимальное расстояние до точек сферы достигается на той точке сферы, которая лежит на продолжении луча \(KO\) «за» центром \(O\). Если провести прямую \(KO\), то ближайшая к \(K\) точка сферы лежит по направлению к \(O\), а наиболее удалённая — по продолжению через \(O\) в противоположную сторону. Поскольку расстояние от \(K\) до центра равно \(a=OK\), а от центра до любой точки сферы — \(R\), то на этой прямой максимальная удалённость от \(K\) до сферы равна сумме \(OK+R\). Следовательно, по условию имеем уравнение \(OK+R=225\), то есть \(a+R=225\). Подставляя \(R=112\), находим \(a=225-112=113\). Эта величина \(a\) полностью определяется условием максимального расстояния и геометрией сферы: добавление радиуса к расстоянию до центра описывает дальнюю точку на сфере относительно внешней точки \(K\).

3) Теперь используем найденное \(a=113\) в прямоугольном треугольнике \(OMK\). Из соотношения Пифагора \(a^{2}=R^{2}+d^{2}\) получаем \(d^{2}=a^{2}-R^{2}\). Подставляя \(a=113\) и \(R=112\), имеем \(d^{2}=113^{2}-112^{2}\). Разность квадратов удобно вычислить формулой \(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\): получаем \(d^{2}=(113-112)(113+112)=1\cdot 225=225\). Следовательно, \(d=\sqrt{225}=15\) см. Таким образом, искомое расстояние между точками \(M\) и \(K\) равно \(15\) см, что согласуется как с условием максимальной удалённости \(225\) см, так и с ортогональностью радиуса к касательной плоскости, обеспечивающей прямоугольный треугольник \(OMK\).