ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Два шара, радиусы которых равны 7 см и 9 см, имеют общий центр. Плоскость \(\alpha\) касается меньшего шара. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью \(\alpha\).

Пусть центры шаров совпадают в точке \(O\). Радиусы: меньший \(r=7\) см, больший \(R=9\) см. Плоскость касается меньшего шара, значит расстояние от центра до плоскости \(d=r=7\) см.

Радиус кругового сечения большего шара: \(p=\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{9^{2}-7^{2}}=\sqrt{81-49}=\sqrt{32}\).

Площадь искомого сечения равна площади круга: \(S=\pi p^{2}=\pi\cdot(\sqrt{32})^{2}=32\pi\ \text{см}^{2}\).

1) Пусть центры шаров совпадают в точке \(O\). Радиусы: меньшего шара \(r=7\) см, большего шара \(R=9\) см. Плоскость \(\alpha\) касается меньшего шара, поэтому расстояние от центра \(O\) до плоскости касания равно радиусу меньшего шара: \(d=7\) см. Эта же плоскость пересекает больший шар, образуя круговое сечение. Радиус такого кругового сечения \(\rho\) находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза \(R\), а один из катетов расстояние \(d\) от центра до плоскости: \(\rho=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\).

2) Подставим численные значения. Вычислим подкоренное выражение: \(R^{2}-d^{2}=9^{2}-7^{2}=81-49=32\). Тогда радиус сечения равен \(\rho=\sqrt{32}\). Это соответствует геометрической интерпретации: чем дальше плоскость от центра, тем меньше радиус сечения; здесь плоскость на расстоянии \(7\) см от центра, поэтому остаётся «горизонтальный» радиус \(\sqrt{9^{2}-7^{2}}\).

3) Площадь искомого сечения равна площади круга с радиусом \(\rho\): \(S=\pi\rho^{2}\). Подставляя найденное \(\rho\), получаем \(S=\pi\cdot(\sqrt{32})^{2}=32\pi\ \text{см}^{2}\). Таким образом, сначала определили расстояние от центра до плоскости по факту касания, затем по теореме Пифагора нашли радиус кругового сечения большего шара, и в завершение вычислили площадь круга по формуле \(S=\pi r^{2}\); результат: \(32\pi\ \text{см}^{2}\).