ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку \(M(10; -10; 8)\).

Пусть центр сферы \(C(\varepsilon_x a,\varepsilon_y a,\varepsilon_z a)\) и радиус \(R=a>0\), так как касание плоскостей \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) даёт \(|x_0|=|y_0|=|z_0|=a\), где \(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z\in\{1,-1\}\).

Точка \(M(10,-10,8)\) лежит на сфере: \((10-\varepsilon_x a)^2+(-10-\varepsilon_y a)^2+(8-\varepsilon_z a)^2=a^2\). Выбирая знаки \(\varepsilon_x=1\), \(\varepsilon_y=-1\), \(\varepsilon_z=1\), получаем \((10-a)^2+(-10+a)^2+(8-a)^2=a^2\), то есть \(264-56a+3a^2=a^2\), далее \(a^2-28a+132=0\).

Решая, имеем \(D=28^2-4\cdot132=256\), \(a=\frac{28\pm16}{2}\), отсюда \(a=6\) или \(a=22\). Тогда центры \(C(6,-6,6)\) и \(C(22,-22,22)\), радиусы \(R=6\) и \(R=22\). Уравнения сфер: \((x-6)^2+(y+6)^2+(z-6)^2=36\) и \((x-22)^2+(y+22)^2+(z-22)^2=484\).

1) Пусть центр сферы \(C(x_0,y_0,z_0)\) и радиус \(R>0\). Касание каждой координатной плоскости означает, что расстояния от центра до плоскостей \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) равны радиусу: \(|x_0|=R\), \(|y_0|=R\), \(|z_0|=R\). Следовательно, по модулю все координаты центра равны одному и тому же числу \(a>0\), а радиус \(R=a\). Значит центр имеет вид \(C(\varepsilon_x a,\varepsilon_y a,\varepsilon_z a)\), где \(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z\in\{1,-1\}\), и уравнение сферы запишется как \((x-\varepsilon_x a)^2+(y-\varepsilon_y a)^2+(z-\varepsilon_z a)^2=a^2\).

2) Сфера проходит через точку \(M(10;-10;8)\). Это даёт уравнение расстояния от \(M\) до центра, равного радиусу: \((10-\varepsilon_x a)^2+(-10-\varepsilon_y a)^2+(8-\varepsilon_z a)^2=a^2\). Раскроем квадраты по каждому знаку. Так как по модулю координаты центра равны \(a\), выберём знаки так, чтобы упростить линейные члены: удобно взять \(\varepsilon_x=1\), \(\varepsilon_y=-1\), \(\varepsilon_z=1\), тогда получим \((10-a)^2+(-10+a)^2+(8-a)^2=a^2\). Раскроем скобки: \((10-a)^2=100-20a+a^2\), \((-10+a)^2=100-20a+a^2\), \((8-a)^2=64-16a+a^2\). Складывая, имеем \(100-20a+a^2+100-20a+a^2+64-16a+a^2=a^2\), то есть \(264-56a+3a^2=a^2\). Переносим \(a^2\) влево: \(264-56a+2a^2=0\), делим на \(2\): \(a^2-28a+132=0\).

3) Решим квадратное уравнение для \(a\): дискриминант \(D=28^2-4\cdot132=784-528=256\). Тогда \(a=\frac{28\pm\sqrt{256}}{2}=\frac{28\pm16}{2}\). Получаем два значения радиуса и модуля координат центра: \(a=22\) и \(a=6\). При выбранных знаках \(\varepsilon_x=1\), \(\varepsilon_y=-1\), \(\varepsilon_z=1\) центры равны \(C(6,-6,6)\) и \(C(22,-22,22)\), а радиусы соответственно \(R=6\) и \(R=22\). Итоговые уравнения сфер: \((x-6)^2+(y+6)^2+(z-6)^2=36\) и \((x-22)^2+(y+22)^2+(z-22)^2=484\).