ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение сферы радиуса 4, касающейся каждой из координатных плоскостей, если абсцисса и ордината центра сферы — отрицательные числа, а аппликата — положительное.

Центр сферы должен быть на одинаковом расстоянии 4 от каждой координатной плоскости, значит его координаты имеют вид \((-4,-4,4)\) с нужными знаками.

Уравнение сферы с центром \((a,b,c)\) и радиусом \(R\) задаётся как \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Подставляя \(a=-4\), \(b=-4\), \(c=4\), \(R=4\), получаем \((x+4)^2+(y+4)^2+(z-4)^2=16\).

Рассматриваем сферу радиуса \(4\), касающуюся каждой координатной плоскости \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\). Касание означает, что расстояние от центра сферы до каждой из этих плоскостей равно радиусу. Пусть центр имеет координаты \((a,b,c)\). Тогда расстояния до плоскостей равны \(|a|\), \(|b|\), \(|c|\). Из условия касания получаем \(|a|=4\), \(|b|=4\), \(|c|=4\). Дополнительно задано, что абсцисса и ордината центра отрицательные, а аппликата положительная, то есть \(a<0\), \(b<0\), \(c>0\). Следовательно, \(a=-4\), \(b=-4\), \(c=4\).

Уравнение сферы с центром \((a,b,c)\) и радиусом \(R\) записывается как \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}\). Подставляя найденные значения \(a=-4\), \(b=-4\), \(c=4\) и \(R=4\), получаем уравнение \((x-(-4))^{2}+(y-(-4))^{2}+(z-4)^{2}=4^{2}\). Упрощая знаки, имеем \((x+4)^{2}+(y+4)^{2}+(z-4)^{2}=16\).

Проверка касания: минимальное расстояние от точки \((-4,-4,4)\) до плоскости \(x=0\) равно \(|-4|=4\), до плоскости \(y=0\) равно \(|-4|=4\), до плоскости \(z=0\) равно \(|4|=4\); все три расстояния совпадают с радиусом, значит сфера действительно касается каждой координатной плоскости. Окончательное уравнение сферы: \((x+4)^{2}+(y+4)^{2}+(z-4)^{2}=16\).