ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) в точке \(A(-2; 1; 2)\).

Точка \(A(-2;1;2)\) лежит на сфере \(x^2+y^2+z^2=9\), радиус в точке касания перпендикулярен касательной плоскости. Нормаль плоскости — радиус-вектор \(OA=(-2,1,2)\).

Уравнение плоскости через точку \(A\) с нормалью \((-2,1,2)\): \(-2(x+2)+1(y-1)+2(z-2)=0\).

Приведём: \(-2x-4+y-1+2z-4=0\), то есть \(2x-y-2z+9=0\).

Точка \(A(-2;1;2)\) принадлежит сфере \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\), так как подстановка координат даёт \( (-2)^{2}+1^{2}+2^{2}=4+1+4=9 \). Для плоскости, касающейся сферы в точке \(A\), её нормаль совпадает с радиус-вектором, проведённым из центра сферы \(O(0;0;0)\) к точке касания. Это следует из геометрического свойства: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Следовательно, вектор нормали равен \( \vec{n}=OA=(-2,1,2) \).

Общее уравнение плоскости с нормалью \(\vec{n}=(n_{x},n_{y},n_{z})\), проходящей через точку \(A(x_{0},y_{0},z_{0})\), записывается как \( n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0 \). Подставляя \( \vec{n}=(-2,1,2) \) и \( A(-2;1;2) \), получаем \( -2(x+2)+1(y-1)+2(z-2)=0 \). Здесь каждое слагаемое — скалярное произведение нормали с направляющим вектором из точки \(A\) к произвольной точке плоскости, что обеспечивает перпендикулярность и тем самым касание.

Раскроем скобки и приведём подобные: \( -2x-4+y-1+2z-4=0 \). Перенос и приведение коэффициентов дают \( -2x+y+2z-9=0 \). Умножив на \(-1\) для стандартного вида, получаем окончательное уравнение касательной плоскости: \( 2x-y-2z+9=0 \). Эта форма подтверждает совпадение с требуемым выражением на изображении и корректность решения, поскольку коэффициенты при \(x\), \(y\), \(z\) совпадают с компонентами радиуса-вектора к точке касания, а свободный член обеспечивает прохождение плоскости через \(A\).