ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\) принадлежат сфере. Докажите, что прямые, перпендикулярные плоскостям \(ABC\) и \(DEF\) и проходящие через центры описанных окружностей треугольников \(ABC\) и \(DEF\), пересекаются или совпадают.

Пусть \(S\) — центр сферы. Центры описанных окружностей треугольников \(ABC\) и \(DEF\) обозначим \(O_{ABC}\) и \(O_{DEF}\). Так как точки \(A,B,C\) лежат на сфере с центром \(S\), то \(SA=SB=SC\), следовательно, \(S\) равноудалён от вершин \(A,B,C\), значит \(S\) лежит на оси окружности, то есть на прямой, перпендикулярной плоскости \(ABC\) и проходящей через \(O_{ABC}\). Аналогично \(S\) лежит на прямой, перпендикулярной плоскости \(DEF\) и проходящей через \(O_{DEF}\).

Таким образом, обе искомые прямые проходят через одну и ту же точку \(S\). Следовательно, они либо пересекаются в точке \(S\), либо совпадают, если плоскости \(ABC\) и \(DEF\) совпадают.

Пусть задана сфера с центром \(S\), на которой лежат точки \(A,B,C,D,E,F\). Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DEF\) и их описанные окружности в соответствующих плоскостях. Обозначим центры этих окружностей \(O_{ABC}\) и \(O_{DEF}\). Так как \(A,B,C\) лежат на сфере, то выполняется равенство \(SA=SB=SC\). Это означает, что точка \(S\) равноудалена от вершин треугольника \(ABC\). В любой плоскости множество точек, равноудалённых от \(A,B,C\), образует единственную точку — центр описанной окружности \(O_{ABC}\), а множество точек в пространстве, равноудалённых от \(A,B,C\), образует прямую, проходящую через \(O_{ABC}\) и перпендикулярную плоскости \(ABC\) (ось окружности). Следовательно, \(S\) лежит на этой оси: прямая, перпендикулярная плоскости \(ABC\) и проходящая через \(O_{ABC}\), проходит через \(S\).

Аналогично, из равенств \(SD=SE=SF\) заключаем, что точка \(S\) равноудалена от вершин треугольника \(DEF\). По тому же геометрическому факту о множестве точек, равноудалённых от трёх неколлинеарных точек, точка \(S\) лежит на оси окружности треугольника \(DEF\), то есть на прямой, перпендикулярной плоскости \(DEF\) и проходящей через \(O_{DEF}\). Таким образом, обе рассматриваемые прямые имеют общую точку \(S\). Поскольку каждая из них по определению является единственной прямой, проходящей через соответствующий центр окружности и перпендикулярной своей плоскости, наличие общей точки \(S\) гарантирует, что эти прямые не скрещиваются.

Дальше остаётся различить два случая взаимного расположения плоскостей. Если плоскости \(ABC\) и \(DEF\) различны, то их соответствующие оси окружностей, обе проходящие через \(S\), пересекаются именно в точке \(S\). Если же плоскости \(ABC\) и \(DEF\) совпадают, то их центры окружностей лежат в одной плоскости, а перпендикуляр к этой плоскости через любую точку единственен; поэтому обе прямые, будучи перпендикулярами к одной плоскости и проходя через свои центры, должны совпасть как одна и та же прямая через \(S\). Следовательно, искомые прямые либо пересекаются в точке \(S\), либо совпадают.