ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку к сфере проведены касательные. Найдите геометрическое место точек касания.

ГМТ — окружность без точек касания.

Решение: Пусть из точки \(P\) проведены касательные к сфере с центром \(O\) и радиусом \(R\). Точки касания \(T\) лежат на сфере и удовлетворяют \(PT \perp OT\). Множество всех таких \(T\) образует круг на сфере с центром на луче \(OP\), радиусом \(r=\sqrt{PO^{2}-R^{2}}\). Так как точки касания не входят в ГМТ по условию, искомое множество — окружность этого круга без самих точек касания.

ГМТ — окружность без точек касания.

Решение: Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(R\) и фиксированную точку \(P\) вне сферы, из которой проводятся все возможные касательные к сфере. Любая касательная касается сферы в точке \(T\), для которой выполняется ортогональность \(PT \perp OT\), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. При этом отрезок \(OT\) имеет длину \(R\), а треугольник \(POT\) является прямоугольным с прямым углом при \(T\). По теореме Пифагора длина отрезка \(PT\) выражается как \(PT=\sqrt{PO^{2}-R^{2}}\). Геометрически множество всех таких \(T\) образует сечение сферы плоскостью, перпендикулярной лучу \(OP\) и расположенной на расстоянии \(h\) от центра \(O\), где \(h=\frac{R^{2}}{PO}\). Это сечение есть круг на сфере, и все точки касания \(T\) лежат на окружности границы этого круга.

Заметим, что плоскость всех касательных из \(P\) к сфере является касательной к соответствующему конусу касательных с вершиной в \(P\); пересечение этой плоскости со сферой дает окружность уровней прямых углов в треугольнике \(POT\). Радиус этой окружности вычисляется из равенства радиусов сферического сечения: если расстояние от \(O\) до плоскости окружности равно \(h\), то радиус окружности \(r\) удовлетворяет \(r^{2}=R^{2}-h^{2}\). С учетом отношения подобия в треугольниках по высоте к гипотенузе получаем \(h=\frac{R^{2}}{PO}\), следовательно \(r=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{R^{2}}{PO}\right)^{2}}=\frac{R}{PO}\sqrt{PO^{2}-R^{2}}\). В частности, все точки касания \(T\) удовлетворяют двум условиям: лежат на сфере \(OT=R\) и одновременно на плоскости, перпендикулярной \(OP\) на расстоянии \(h\) от \(O\).

Итак, геометрическое место точек касания есть единственная окружность на сфере, полученная пересечением сферы с плоскостью, перпендикулярной \(OP\) и проходящей на расстоянии \(h=\frac{R^{2}}{PO}\) от \(O\). При этом искомое множество по условию исключает сами точки касания, поэтому ответ формулируется как окружность этого сечения без ее точек касания. Таким образом, ГМТ — окружность, лежащая на сфере, с центром на оси \(OP\), радиусом \(r=\frac{R}{PO}\sqrt{PO^{2}-R^{2}}\), но без самих точек касания, то есть окружность с удаленными точками касания как элементами множества.