ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку \(A\) проведены касательные к сфере. Расстояние от точки \(A\) до точек касания равно 40 см, а до ближайшей к ней точки сферы — 20 см. Найдите длину линии, которая является геометрическим местом точек касания.

Пусть \(R\) — радиус сферы, \(O\) — центр, \(A\) — внешняя точка, \(T\) — точка касания. По условию \(AT=40\) и ближайшая точка на сфере к \(A\) даёт \(AO=R+20\). В прямоугольном треугольнике \(AOT\) имеем \(AO^2=AT^2+R^2\), значит \((R+20)^2=40^2+R^2\), откуда \(R=30\) и \(AO=50\).

Окружность касания лежит в плоскости, перпендикулярной \(AO\). Расстояние от \(O\) до этой плоскости \(x=\frac{R^2}{AO}=\frac{30^2}{50}=18\), радиус окружности касания \(r=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{30^2-18^2}=24\). Тогда длина искомой линии \(L=2\pi r=48\pi\).

Рассмотрим сферу радиуса \(R\) с центром \(O\) и внешнюю точку \(A\). Через \(A\) можно провести все касательные к сфере; каждая такая касательная касается сферы в некоторой точке \(T\). По основной теореме о касательной к сфере радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть \(OT \perp AT\). Следовательно, треугольник \(AOT\) прямоугольный с прямым углом при \(T\). Из условия известно, что длина отрезка от \(A\) до точки касания равна \(AT=40\), а минимальное расстояние от \(A\) до поверхности сферы равно \(20\). Минимальное расстояние до сферы измеряется по прямой \(AO\) и равно \(AO-R\), значит \(AO=R+20\).

Воспользуемся прямоугольным треугольником \(AOT\). По теореме Пифагора имеем \(AO^{2}=AT^{2}+OT^{2}\), то есть \(AO^{2}=AT^{2}+R^{2}\). Подставляя \(AT=40\) и \(AO=R+20\), получаем уравнение \((R+20)^{2}=40^{2}+R^{2}\). Раскрывая скобки, имеем \(R^{2}+40R+20^{2}=40^{2}+R^{2}\), откуда \(40R=40^{2}-20^{2}\). Вычисляя, получаем \(40R=1600-400=1200\), следовательно \(R=30\). Тогда \(AO=R+20=30+20=50\). Эти значения согласуются и с исходным \(AT=40\), поскольку \(AO^{2}-R^{2}=50^{2}-30^{2}=2500-900=1600=40^{2}\), что подтверждает прямоугольность \(AOT\) при \(T\).

Геометрическое место всех точек касания образует окружность на сфере, называемую окружностью касания. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной оси \(AO\), поскольку для всех касательных векторы \(OT\) ортогональны \(AT\), а множество таких \(T\) симметрично вокруг оси \(AO\). Плоскость окружности касания находится на расстоянии \(x\) от центра \(O\) вдоль оси \(AO\). Чтобы найти \(x\), заметим, что в треугольнике \(AOT\) проекция \(OT\) на \(AO\) даёт соотношение подобия для прямоугольных треугольников с общей гипотенузой \(AO\): \(x=\frac{R^{2}}{AO}\). Подставляя значения, находим \(x=\frac{30^{2}}{50}=\frac{900}{50}=18\). Этот результат также можно интерпретировать как расстояние от центра сферы до плоскости, содержащей окружность касания.

Радиус окружности касания \(r\) на сфере связан с радиусом сферы и расстоянием \(x\) до её плоскости формулой \(r^{2}=R^{2}-x^{2}\), поскольку \(r\), \(x\) и \(R\) образуют прямоугольный треугольник в меридиональном сечении сферы этой плоскостью. Подставляя \(R=30\) и \(x=18\), получаем \(r=\sqrt{30^{2}-18^{2}}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24\). Таким образом, окружность касания имеет радиус \(24\), лежит в плоскости, перпендикулярной \(AO\), и симметрична относительно оси \(AO\). Наконец, длина искомой линии, то есть длина окружности касания, равна \(L=2\pi r=2\pi\cdot 24=48\pi\).