ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 17 см, 28 см и 39 см и касаются данной сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости этого треугольника равно 12 см. Найдите радиус сферы.

Дан треугольник со сторонами \(a=17\), \(b=28\), \(c=39\). Полупериметр: \(p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{17+28+39}{2}=42\).

Площадь по формуле Герона: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{42\cdot25\cdot14\cdot3}=210\).

Радиус вписанной окружности треугольника: \(r=\frac{S}{p}=\frac{210}{42}=5\).

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника \(d=12\). Центр сферы проецируется в центр вписанной окружности треугольника, поэтому радиус сферы: \(R=\sqrt{d^{2}+r^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=13\).

Ответ: \(13\) см.

1) Найдём полупериметр треугольника со сторонами \(a=17\) см, \(b=28\) см, \(c=39\) см: \(p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{17+28+39}{2}=42\) см. Полупериметр нужен для применения формулы Герона. Заметим, что все разности \(p-a=42-17=25\), \(p-b=42-28=14\), \(p-c=42-39=3\) положительны, значит треугольник существует и корректно вычислять его площадь через полупериметр.

2) Площадь треугольника по формуле Герона равна \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{42\cdot25\cdot14\cdot3}\). Сгруппируем множители для удобства извлечения корня: \(42\cdot3=126\), \(25\cdot14=350\), тогда \(S=\sqrt{126\cdot350}=\sqrt{44100}=210\) см\(^2\). Полученное значение удобно тем, что дальше позволит просто найти радиус вписанной окружности через стандартную формулу связи площади с полупериметром.

3) Радиус вписанной окружности треугольника выражается через площадь и полупериметр: \(r=\frac{S}{p}=\frac{210}{42}=5\) см. Геометрически это означает, что расстояние от инцентра до любой стороны равно \(5\) см, а сама окружность касается всех трёх сторон. Этот параметр понадобится для связи с искомым радиусом сферы, так как центр сферы проецируется на инцентр треугольника.

4) По условию расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно \(d=12\) см. Центр сферы и центр вписанной окружности лежат на одной перпендикулярной прямой к плоскости треугольника: проекция центра сферы на плоскость совпадает с инцентром. Тогда радиус сферы \(R\) есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(d\) и \(r\): \(R=\sqrt{d^{2}+r^{2}}\). Подставляя значения, получаем \(R=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\) см. Это соответствует записи на фото: \(R=\sqrt{144+25}=13\).

5) Следовательно, искомый радиус сферы равен \(13\) см. Здесь использованы три ключевые идеи: точное вычисление площади по Герону, нахождение радиуса вписанной окружности через отношение \(S\) к \(p\), а также пространственная связь между центром сферы и плоскостью треугольника, приводящая к прямоугольному треугольнику с катетами \(d\) и \(r\). Итоговое численное значение устойчиво к проверке: \(13^{2}=169\), что равно сумме \(12^{2}+5^{2}=144+25=169\), значит вычисления согласованы. Ответ: \(13\) см.