ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны ромба касаются сферы, диаметр которой равен \(a\). Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба, если его сторона равна \(a\), а острый угол равен \(\alpha\).

Пусть диаметр сферы \(a\), тогда её радиус \(R=\frac{a}{2}\). Плоскость ромба касается сферы, а проекция сферы на эту плоскость — окружность, касающаяся сторон ромба.

Радиус вписанной окружности в ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\): \(r=\frac{S}{p}=\frac{a^{2}\sin\alpha}{2a}=\frac{a}{2}\sin\alpha\).

Расстояние от центра сферы до плоскости ромба — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой \(R\) и другим катетом \(r\): \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\sin\alpha\right)^{2}}=\frac{a}{2}\cos\alpha\).

1. Пусть дана сфера диаметра \(a\), тогда её радиус равен половине диаметра: \(R=\frac{a}{2}\). Рассмотрим плоскость, в которой расположен ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\). По условию эта плоскость касается сферы, то есть имеет с ней единственную общую точку касания, а центр сферы не лежит в этой плоскости. Геометрически это означает, что перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость ромба, имеет длину, равную расстоянию \(d\) от центра до плоскости. При ортогональном проектировании сферы на плоскость ромба мы получаем окружность, поскольку проекция сферы на любую плоскость является кругом. Эта окружность является касательной к каждой стороне ромба, так как плоскость ромба касается сферы, и значит, все касательные к сфере в точках, проецируемых на стороны, образуют касания в пределах ромба. Следовательно, проекция сферы на плоскость ромба — это окружность, вписанная в ромб.

2. Напомним, что для ромба со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\) площадь выражается как \(S=a^{2}\sin\alpha\), а периметр равен \(p=4a\). По классической формуле радиус вписанной окружности в произвольный многоугольник равен отношению площади к полупериметру, то есть \(r=\frac{S}{p/2}\). Подставляя конкретные выражения для ромба, получаем \(r=\frac{a^{2}\sin\alpha}{2a}=\frac{a}{2}\sin\alpha\). Этот радиус \(r\) является радиусом окружности, которая касается всех четырёх сторон ромба, а её центр совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба. Так как эта окружность является ортогональной проекцией сечения сферы плоскостью ромба, её радиус соответствует длине от проекции центра сферы до любой стороны, что согласуется с интерпретацией как вписанной окружности. Важно подчеркнуть, что \(r\) геометрически выступает «горизонтальным» катетом в прямоугольном треугольнике, описывающем взаимное расположение центра сферы, плоскости ромба и точки касания.

3. Для нахождения расстояния \(d\) от центра сферы до плоскости ромба используем факт касания и прямоугольную геометрию. Проведём перпендикуляр из центра сферы к плоскости ромба; его длина равна \(d\). Рассмотрим также радиус сферы, проведённый к точке касания с плоскостью ромба; он перпендикулярен плоскости и равен \(R\). Если опустить из центра сферы проекцию в плоскость ромба, то получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой \(R\), одним катетом \(d\) (перпендикуляр к плоскости) и другим катетом \(r\) (радиус вписанной окружности в плоскости). По теореме Пифагора имеем \(R^{2}=d^{2}+r^{2}\), откуда \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}\). Подставим найденные ранее выражения \(R=\frac{a}{2}\) и \(r=\frac{a}{2}\sin\alpha\): \(d=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\sin\alpha\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}\left(1-\sin^{2}\alpha\right)}\).

4. Заметим, что \(1-\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\alpha\), поэтому подкоренное выражение упрощается до квадрата косинуса. Следовательно, \(d=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}\cos^{2}\alpha}=\frac{a}{2}\cos\alpha\). Это выражение показывает, что расстояние от центра сферы до плоскости ромба прямо пропорционально косинусу острого угла ромба и половине длины стороны сферы (то есть половине диаметра сферы). Интуитивно, чем острее угол \(\alpha\) (меньше \(\alpha\)), тем больше \(\cos\alpha\) и тем ближе плоскость ромба «прижимается» к центру сферы, увеличивая \(d\). В предельных случаях при \(\alpha\to 0\) имеем \(\cos\alpha\to 1\) и \(d\to \frac{a}{2}=R\), что соответствует касанию плоскости, почти перпендикулярной радиусу, а при \(\alpha\to \frac{\pi}{2}\) имеем \(\cos\alpha\to 0\) и \(d\to 0\), когда плоскость ромба проходит «максимально наклонно» относительно направления радиуса касания.

5. Итоговые зависимости формализуют всю геометрию задачи в компактном виде: радиус сферы \(R=\frac{a}{2}\), радиус вписанной окружности в ромб \(r=\frac{a}{2}\sin\alpha\), а расстояние от центра сферы до плоскости ромба \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\sin\alpha\right)^{2}}=\frac{a}{2}\cos\alpha\). Эти формулы согласованы между собой благодаря тождеству \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) и интерпретации конфигурации через прямоугольный треугольник, где гипотенуза — радиус сферы, а катеты — искомое расстояние до плоскости и радиус вписанной окружности, являющейся проекцией сферы на плоскость ромба.