ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду длиной 12 см. Найдите радиус шара, если площади данных сечений равны \(64\pi\) см\(^2\) и \(100\pi\) см\(^2\).

Площади кругов-сечений: \(64\pi\) и \(100\pi\), значит их радиусы: \(r_1=8\) и \(r_2=10\). Пусть расстояния плоскостей от центра шара: \(d_1,d_2\), радиус шара \(R\). Тогда \(r_1^2=R^2-d_1^2\) и \(r_2^2=R^2-d_2^2\), то есть \(d_1^2=R^2-64\), \(d_2^2=R^2-100\).

Перпендикулярные плоскости имеют общую хорду длиной \(12\): \(2\sqrt{R^2-d_1^2-d_2^2}=12\Rightarrow R^2-d_1^2-d_2^2=36\). Подставляя: \(R^2-(R^2-64)-(R^2-100)=36\Rightarrow -R^2+164=36\Rightarrow R^2=128\Rightarrow R=\)
\(=8\sqrt{2}\).

Ответ: \(8\sqrt{2}\) см.

1) По площадям сечений находим радиусы кругов-сечений. Площадь круга равна \(\pi r^2\). Из условий: \(\pi r_1^2=64\pi\Rightarrow r_1^2=64\Rightarrow r_1=8\); \(\pi r_2^2=100\pi\Rightarrow r_2^2=100\Rightarrow r_2=10\).

2) Обозначим радиус шара через \(R\), а расстояния плоскостей сечений от центра шара через \(d_1\) и \(d_2\). Радиусы кругов-сечений выражаются формулами: \(r_1^2=R^2-d_1^2\) и \(r_2^2=R^2-d_2^2\). Следовательно, \(d_1^2=R^2-64\) и \(d_2^2=R^2-100\).

3) Введём прямоугольную систему координат с центром шара в начале координат и осями так, что плоскости сечений взаимно перпендикулярны и имеют уравнения \(x=d_1\) и \(y=d_2\). Тогда их общая прямая есть линия пересечения этих плоскостей, а общая хорда шара лежит на этой прямой и ограничена сферой \(x^2+y^2+z^2=R^2\).

4) Точки общей хорды удовлетворяют \(x=d_1\), \(y=d_2\), поэтому по уравнению сферы получаем \(z^2=R^2-d_1^2-d_2^2\). Длина хорды равна удвоенному модулю проекции по оси \(z\): \(2\sqrt{R^2-d_1^2-d_2^2}\).

5) По условию длина общей хорды равна \(12\), значит \(2\sqrt{R^2-d_1^2-d_2^2}=12\Rightarrow \sqrt{R^2-d_1^2-d_2^2}=6\Rightarrow R^2-d_1^2-d_2^2=36\).

6) Подставим выражения для \(d_1^2\) и \(d_2^2\): \(R^2-(R^2-64)-(R^2-100)=36\). Преобразуем: \(R^2-R^2+64-R^2+100=36\Rightarrow -R^2+164=36\).

7) Найдём \(R^2\): \(-R^2=36-164=-128\Rightarrow R^2=128\).

8) Извлекаем корень: \(R=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).

9) Проверка согласованности: радиусы сечений \(r_1=\sqrt{R^2-d_1^2}=\sqrt{64}=8\) и \(r_2=\sqrt{R^2-d_2^2}=\sqrt{100}=10\); длина хорды \(2\sqrt{R^2-d_1^2-d_2^2}=2\sqrt{36}=12\). Все условия выполнены.

10) Итог: радиус шара равен \(8\sqrt{2}\) см.