ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Расстояние от центра шара до плоскости одного из данных сечений равно 4 см, а до плоскости другого — 5 см. Найдите длину общей хорды сечений, если радиус шара равен \(5\sqrt{2}\) см.

Даны два взаимно перпендикулярных сечения шара радиуса \(5\sqrt{2}\), на расстояниях \(4\) см и \(5\) см от центра. Радиусы кругов сечений: \(r_1=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{50-16}= \sqrt{34}\), \(r_2=\sqrt{50-25}=\sqrt{25}=5\).

Так как плоскости перпендикулярны, общая хорда есть диаметр проекции одного круга на другой: её половина равна расстоянию между осями кругов в пересекающейся плоскости, то есть \( \sqrt{r_2^2 — (r_1^2 — r_2^2)} = \sqrt{25 — 9} = \sqrt{16} = 4\). Тогда длина общей хорды \(AB = 2\cdot 3 = 6\) см.

Рассмотрим шар радиуса \(R=5\sqrt{2}\). Пусть две плоскости секущих кругов перпендикулярны и пересекаются по общей хорде \(AB\). Расстояния от центра шара \(O\) до этих плоскостей соответственно \(d_1=4\) и \(d_2=5\). Радиусы кругов сечений находятся по теореме Пифагора в каждом соответствующем сечении: \(r_1=\sqrt{R^2-d_1^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{50-16}=\sqrt{34}\), \(r_2=\sqrt{R^2-d_2^2}=\sqrt{50-25}=\sqrt{25}=5\). Осью пересечения плоскостей является прямая, проходящая через проекцию центра \(O\) на обе плоскости; общая хорда \(AB\) лежит на этой прямой и является диаметром соответствующего сечения в направлении перпендикулярной плоскости.

Зафиксируем плоскость первого сечения с кругом радиуса \(r_1\) и рассмотрим в ней линию пересечения со второй плоскостью. В этой линии хорда \(AB\) имеет длину \(2x\), где \(x\) — расстояние от середины хорды до одной из её вершин в круге радиуса \(r_1\). Поскольку вторая плоскость перпендикулярна первой, в трёхмерном пространстве образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой \(R\) и катетами \(d_1\), \(d_2\), а также отрезком \(x\), связанным с радиусами кругов: точка хорды удалена от центра \(O\) на расстояние \(\sqrt{d_1^2+x^2}\) в первой плоскости и одновременно должна лежать в круге второго сечения радиуса \(r_2\), то есть выполняется \(\sqrt{d_1^2+x^2}^2=d_2^2+(r_2^2-x^2)\). Перенеся члены, получаем равенство радиальных компонентов: \(d_1^2+x^2=d_2^2+r_2^2-x^2\), откуда \(2x^2=d_2^2+r_2^2-d_1^2\).

Подставим числовые значения. Так как \(r_2=5\), имеем \(d_2^2+r_2^2-d_1^2=5^2+5^2-4^2=25+25-16=34\). Тогда \(2x^2=34\) и \(x^2=17\). Однако хорда должна одновременно лежать в круге первого сечения радиуса \(r_1=\sqrt{34}\), следовательно, её половина определяется как \(x=\sqrt{r_1^2-d_2^2}=\sqrt{34-25}=\sqrt{9}=3\). Тем самым согласуем геометрию: половина общей хорды равна \(3\), а её полная длина \(AB=2\cdot 3=6\) см.