ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В шаре радиуса \(R\) проведены два равных сечения, имеющие общую хорду длиной \(a\). Угол между плоскостями сечений равен \(\alpha\). Найдите площадь каждого из данных сечений.

Дано: шар радиуса \(R\); два равных круговых сечения с общей хордой длины \(a\); угол между плоскостями сечений \(\alpha\). Пусть расстояния от центра шара до плоскостей сечений равны \(d_1\) и \(d_2\), причём \(d_1^2+d_2^2=R^2\) и проекция общей хорды на каждую плоскость имеет длину \(a\). Из геометрии получаем \(a=2\sqrt{R^2-d_i^2}\sin\frac{\alpha}{2}\), отсюда \(R^2-d_i^2=\frac{a^2}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}\).

Площадь кругового сечения равна \(S_i=\pi(R^2-d_i^2)\). Следовательно,
\(S_1=\pi\left(R^2\cos^2\frac{\alpha}{2}+\frac{a^2}{4}\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\),
\(S_2=\pi\left(R^2\sin^2\frac{\alpha}{2}+\frac{a^2}{4}\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)\).

1) Рассмотрим шар радиуса \(R\) и две секущие плоскости, образующие угол \(\alpha\), пересекающиеся по общей хорде длиной \(a\). Каждая плоскость отстоит от центра шара на расстояние \(d_i\), а соответствующее круговое сечение имеет радиус \(r_i=\sqrt{R^{2}-d_i^{2}}\) и площадь \(S_i=\pi r_i^{2}=\pi\left(R^{2}-d_i^{2}\right)\). Чтобы выразить \(d_i\) через \(R\), \(a\) и \(\alpha\), заметим, что общая хорда лежит на линии пересечения плоскостей; её проекция на каждое из кругов получается из треугольной конфигурации, где половина хорды \(a/2\) соответствует катету в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(r_i\) и углом \(\alpha/2\). Отсюда \(\frac{a}{2}=r_i\sin\frac{\alpha}{2}\), то есть \(r_i^{2}=\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\). Тогда \(R^{2}-d_i^{2}=r_i^{2}=\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\).

2) Чтобы учесть наклон плоскостей относительно центра, вводится ортонормированный базис так, что ось, перпендикулярная линии пересечения, делит угол между нормалями плоскостей поровну. Для равных сечений компоненты расстояний \(d_1\) и \(d_2\) по этой оси выражаются через \(R\) и \(\alpha\): при повороте на \(\alpha/2\) проекции дают \(d_1=R\sin\frac{\alpha}{2}\) и \(d_2=R\cos\frac{\alpha}{2}\) в подходящей ориентации, причём используется равенство \(d_1^{2}+d_2^{2}=R^{2}\). Комбинируя это с найденным выше выражением для \(r_i^{2}\), получаем суммы вкладов от геометрии шара и от общей хорды, что даёт итоговые площади через тригонометрические функции половинного угла.

3) В результате площади двух равных круговых сечений, имеющих общую хорду длиной \(a\) и угол между плоскостями \(\alpha\), выражаются формулами: \(S_1=\pi\left(R^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{a^{2}}{4}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)\) и \(S_2=\pi\left(R^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{a^{2}}{4}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\right)\). Здесь первый член в каждой скобке отражает вклад от положения плоскости относительно центра шара, а второй член фиксирован общей хордой: чем больше \(a\), тем больше радиусы кругов через связь \(\frac{a}{2}=r_i\sin\frac{\alpha}{2}\). Эти выражения совпадают по структуре и взаимно дополняют друг друга через замену \(\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\) на \(\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\), что согласуется с симметрией задачи и требованием равенства сечений.