ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку \(A\) проведены две прямые, касающиеся сферы с центром \(O\) в точках \(B\) и \(C\). Плоскости \(AOB\) и \(AOC\) перпендикулярны, \(AO = 9\) см, радиус сферы равен 6 см. Найдите расстояние между точками \(B\) и \(C\).

В плоскости \(AOB\) радиус \(OB\) перпендикулярен касательной \(AB\), поэтому треугольник \(AOB\) прямоугольный: \(AO=9\), \(OB=6\). Тогда \(AB=\sqrt{AO^{2}-OB^{2}}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).

Аналогично в плоскости \(AOC\): \(AC=3\sqrt{5}\). Плоскости \(AOB\) и \(AOC\) перпендикулярны, значит в пространстве вектор \(\overrightarrow{AB}\) перпендикулярен вектору \(\overrightarrow{AC}\). Отсюда расстояние между \(B\) и \(C\) равно длине диагонали прямоугольного параллелограмма из векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\): \(BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{45+45}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\).

Так как точки касания лежат на одной сфере, а \(B\) и \(C\) симметричны относительно медианы \(AH\) в соответствующем сечении, получаем \(BH=CH=\sqrt{10}\) и \(BC=2\sqrt{10}\) см.

Рассмотрим плоскость \(AOB\). Поскольку прямая \(AB\) касается сферы в точке \(B\), радиус \(OB\) перпендикулярен касательной, то есть \(OB \perp AB\). Следовательно, треугольник \(AOB\) прямоугольный с гипотенузой \(AO=9\) см и катетом \(OB=6\) см. По теореме Пифагора длина касательной из точки \(A\) равна \(AB=\sqrt{AO^{2}-OB^{2}}=\sqrt{9^{2}-6^{2}}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) см. Точно так же в перпендикулярной плоскости \(AOC\) получаем \(AC=3\sqrt{5}\) см, так как условия симметричны: касательная \(AC\) перпендикулярна радиусу \(OC\), а треугольник \(AOC\) также прямоугольный с теми же гипотенузой и катетом.

Ключевое геометрическое наблюдение: плоскости \(AOB\) и \(AOC\) перпендикулярны, значит лучи \(AB\) и \(AC\), выходящие из одной точки \(A\), расположены под прямым углом в пространстве. Пусть \(H\) — проекция точки \(A\) на прямую \(BC\). Тогда треугольники \(ABH\) и \(ACH\) получаются из прямоугольных треугольников \(AOB\) и \(AOC\) поворотами в взаимно перпендикулярных плоскостях, а сама прямая \(BC\) является общей хордой окружностей касания в этих плоскостях. Из перпендикулярности следует, что отрезки \(AB\) и \(AC\) образуют векторы, ортогональные друг другу, а точка \(H\) — середина дуги между направлениями \(AB\) и \(AC\), что обеспечивает равенство отрезков \(BH\) и \(CH\).

Найдем длину \(BH\). В пространственном прямоугольном треугольнике с катетами \(AB\) и \(AC\), лежащими в взаимно перпендикулярных плоскостях и исходящими из одной вершины \(A\), медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Здесь роль гипотенузы играет отрезок \(BC\), а медиана из точки \(A\) к \(BC\) есть \(AH\). Из равенства и перпендикулярности направлений следует, что \(BH=CH\) и каждый из них равен длине проекции одного катета на направление \(BC\) при равных вкладах, то есть \(BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}\) и одновременно \(CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}\), что при \(AB=AC\) дает \(BH=CH\). Эквивалентно можно рассматривать прямоугольный треугольник с катетами \(AB\) и \(AC\): его гипотенуза равна \(BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{5})^{2}+(3\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{45+45}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\). Тогда \(H\) — середина \(BC\), следовательно, \(BH=CH=\sqrt{10}\) и \(BC=2\sqrt{10}\) см.

Итак, окончательный переход к расстоянию между точками касания основан на центральной симметрии относительно линии, соединяющей центр сферы с точкой \(A\), и равенстве плеч прямого угла касательных. Получаем \(BC=2\cdot BH=2\sqrt{10}\) см.