ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сколько плоскостей, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

1) одну.

Краткое решение: Пусть точка \(A\) лежит на сфере с центром \(O\). Радиус \(OA\) перпендикулярен касательной плоскости в точке касания. Через \(A\) существует единственная плоскость, перпендикулярная \(OA\), поэтому касательная плоскость одна.

2) бесконечномного.

Краткое решение: Если точка \(P\) вне сферы радиуса \(R\), то множество плоскостей, проходящих через \(P\) и касающихся сферы, получается поворотом касательных плоскостей вокруг прямой, соединяющей \(P\) с центром \(O\). Таких плоскостей бесконечно много.

1) одну.

Пусть дана сфера радиуса \(R\) с центром \(O\), и точка \(A\) лежит на этой сфере, то есть \(OA=R\). Касательная плоскость к сфере в точке \(A\) по определению плоскость, которая имеет с сферой единственную общую точку \(A\) и перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. А именно, выполняется условие ортогональности: нормаль касательной плоскости в точке \(A\) сонаправлена с радиусом \(OA\), то есть плоскость должна быть перпендикулярна вектору \(OA\). В евклидовой геометрии через фиксированную точку \(A\) существует ровно одна плоскость, перпендикулярная данному ненулевому вектору \(OA\). Следовательно, касательная плоскость к сфере в точке \(A\) единственна.

Более детально: если рассмотреть все плоскости, проходящие через точку \(A\), то множество их нормалей заполняет все возможные направления в пространстве. Требование касания к сфере накладывает жесткое условие: нормаль должна совпадать с направлением \(OA\), поскольку только тогда расстояние от центра \(O\) до плоскости равно радиусу \(R\). Формально, если плоскость имеет уравнение \(n\cdot x=d\) и проходит через \(A\), то \(d=n\cdot A\). Для касания к сфере центра \(O\) необходимо и достаточно, чтобы расстояние от \(O\) до плоскости равнялось \(R\), то есть \(\frac{|d|}{\|n\|}=R\). При \(A\) на сфере условие сводится к \(d=n\cdot A\) и \(n\) параллелен \(OA\), что определяет плоскость единственным образом.

Итак, из свойств сферы и касательной плоскости следует однозначность: существует ровно одна плоскость, касающаяся сферы в заданной точке \(A\), поскольку только одна плоскость перпендикулярна радиусу \(OA\) и проходит через \(A\). Это соответствует классическому факту дифференциальной геометрии: в любой гладкой точки поверхности касательная гиперплоскость единственна.

2) бесконечномного.

Пусть теперь точка \(P\) расположена вне сферы центра \(O\) и радиуса \(R\), то есть \(OP>R\). Рассмотрим все плоскости, проходящие через \(P\). Среди них касательными к сфере будут те, для которых расстояние от \(O\) до плоскости равно \(R\). Пусть плоскость имеет нормаль \(n\) и уравнение \(n\cdot x=d\) с условием \(n\cdot P=d\) (так как плоскость проходит через \(P\)). Критерий касания задается равенством \(\frac{|d|}{\|n\|}=R\), откуда \(\frac{|n\cdot P|}{\|n\|}=R\). Это уравнение имеет бесчисленное множество решений по направлениям \(n\), поскольку можно непрерывно менять направление нормали и соответствующим образом менять \(d\), сохраняя прохождение через \(P\) и условие на расстояние.

Геометрически это видно так: зафиксируем прямую \(OP\). Вокруг этой прямой можно поворачивать касательные плоскости как вокруг оси, получая непрерывное семейство положений. Каждая такая плоскость касается сферы по некоторой окружности касания и при этом обязательно проходит через \(P\). Никаких дополнительных ограничений, кроме расстояния \(R\) от центра \(O\) до плоскости и условия прохождения через \(P\), нет, поэтому множество таких плоскостей параметризуется непрерывным углом поворота, а значит их бесконечно много.

Таким образом, через внешнюю точку \(P\) можно провести бесчисленное множество касательных плоскостей к сфере: меняя ориентацию плоскости вокруг оси, содержащей \(OP\), мы получаем континуум решений, и каждое из них удовлетворяет условиям касания \(\frac{|d|}{\|n\|}=R\) и прохождения через \(P\).