ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку \(M\) проведены две прямые, касающиеся сферы с центром \(O\) в точках \(A\) и \(B\). Двугранный угол с гранями \(AMO\) и \(BMO\) равен \(120^\circ\), \(AB = 6\) см, \(AM = 4\sqrt{3}\) см. Найдите радиус сферы.

Рассмотрим систему координат с осью \(z\) вдоль \(MO\) и \(M\) в начале. Проекции \(MA\) и \(MB\) на плоскость \(z=0\) образуют угол \(120^\circ\). Пусть \(A=(a,0,h)\), \(B=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},h\right)\), \(O=(0,0,t)\). Из касательности \(OA \perp MA\) получаем \(a^2+h^2=ht\). Так как \(AM=4\sqrt{3}\), то \(a^2+h^2=48\), значит \(ht=48\).

Из \(AB=6\) имеем \(AB^2=3a^2=36\), следовательно \(a=2\sqrt{3}\). Тогда \(a^2+h^2=48\) дает \(h^2=36\), берём \(h=6\), и \(t=\frac{48}{6}=8\).

Радиус \(R=OA=\sqrt{a^2+(h-t)^2}=\sqrt{12+4}=4\).

Введём декартову систему координат так, чтобы точка \(M\) была началом координат, а ось \(z\) совпадала с направлением \(MO\). Тогда плоскости \(AMO\) и \(BMO\) поворачиваются вокруг оси \(MO\), поэтому проекции лучей \(MA\) и \(MB\) на плоскость \(z=0\) образуют угол \(120^\circ\). Выберем координаты точек: \(A=(a,0,h)\), \(B=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},h\right)\), \(O=(0,0,t)\). Так как прямые \(MA\) и \(MB\) касаются сферы в точках \(A\) и \(B\), то \(OA \perp MA\) и \(OB \perp MB\). Условие перпендикулярности \(OA \perp MA\) записывается как \((A-O)\cdot A=0\), откуда получаем \(a^{2}+h^{2}-ht=0\), то есть \(a^{2}+h^{2}=ht\). По условию \(AM=4\sqrt{3}\), значит \(|A|^{2}=a^{2}+h^{2}=48\), следовательно \(ht=48\). Аналогично для точки \(B\) получаем то же соотношение, что согласуется с выбранной симметричной конфигурацией относительно оси \(MO\).

Используем длину хорды \(AB=6\) для нахождения \(a\). Поскольку \(z\)-координаты у \(A\) и \(B\) равны, длина \(AB\) определяется только разностью их проекций в плоскости \(z=0\): \(AB^{2}=(a-(-\frac{a}{2}))^{2}+\left(0-\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^{2}=\left(\frac{3a}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^{2}=\frac{9a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}=3a^{2}\). Отсюда \(AB=\sqrt{3}\,a=6\), значит \(a=2\sqrt{3}\). Подставим в равенство \(a^{2}+h^{2}=48\): получаем \(12+h^{2}=48\), поэтому \(h^{2}=36\) и \(h=6\) (берём положительное, поскольку \(A\) лежит в полупространстве \(z>0\) при выбранной ориентации оси). Из условия \(ht=48\) находим \(t=\frac{48}{6}=8\), то есть центр сферы \(O\) имеет координату \(z=8\) относительно точки \(M\).

Радиус сферы равен \(R=OA=\sqrt{a^{2}+(h-t)^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(6-8)^{2}}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4\). Проверка согласованности: в треугольнике \(AMO\) действительно \(AM \perp AO\) и \(OM^{2}=AM^{2}+AO^{2}=48+16=64\), откуда \(OM=8\), что совпадает с найденным \(t\). Таким образом, построенная модель удовлетворяет всем условиям задачи: касательность в \(A\) и \(B\), заданная длина хорды \(AB\) и двугранный угол через правильный выбор проекций, что приводит к однозначному значению радиуса \(R=4\).