ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \(A\) и \(B\). Найдите ГМТ оснований перпендикуляров, опущенных из точки \(A\) на все плоскости, проходящие через точку \(B\).

Решение: рассматриваем все плоскости, проходящие через точку \(B\). В каждой такой плоскости из точки \(A\) опускаем перпендикуляр; его основание — точка пересечения плоскости с прямой, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через \(A\).

Замечание: при повороте плоскости вокруг точки \(B\) множество оснований перпендикуляров образует сферу с диаметром \(AB\). Действительно, основание перпендикуляра \(H\) удовлетворяет условию \( \angle AHB = 90^\circ \), а все и только такие точки \(H\) лежат на сфере, построенной на диаметре \(AB\).

Ответ: ГМТ — сфера с диаметром \(AB\), за исключением точки \(A\) (так как плоскость не может быть перпендикулярна самой себе) и точки \(B\) (так как перпендикуляр из \(A\) к плоскости, содержащей \(B\), не может иметь основание в \(B\)).

Рассмотрим все возможные плоскости, проходящие через точку \(B\). Для каждой такой плоскости \( \Pi \) из точки \(A\) опускаем перпендикуляр \(AH\) на \( \Pi \), получая основание \(H\). По определению, \(AH \perp \Pi\), а значит \(AH\) перпендикулярен любой прямой в \( \Pi \), проходящей через \(H\). В частности, отрезок \(BH\) лежит в \( \Pi \), поэтому треугольник \(AHB\) прямоугольный с прямым углом при \(H\): \( \angle AHB = 90^\circ \). Следовательно, для любой такой точки \(H\) выполняется теорема Фалеса об окружности (в пространстве — о сфере): множество всех точек, из которых отрезок \(AB\) виден под прямым углом, есть сфера, построенная на диаметре \(AB\). Иначе говоря, всякая точка-основание \(H\) принадлежит сфере \(S\) с диаметром \(AB\), поскольку векторное условие ортогональности \( \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0 \) эквивалентно уравнению сферы с диаметром \(AB\).

Покажем обратное включение: пусть точка \(H\) лежит на сфере \(S\) с диаметром \(AB\). Тогда по свойству сферы на диаметре \(AB\) имеем \( \angle AHB = 90^\circ \). Возьмем плоскость \( \Pi \), проходящую через точку \(B\) и содержащую отрезок \(BH\), а также перпендикуляр к \(BH\) в точке \(H\), совпадающий с \(AH\). Такая плоскость существует и единственна, так как любые две непараллельные прямые \(BH\) и \(AH\) определяют плоскость. В этой плоскости \(AH \perp \Pi\), поскольку всем направлениям, лежащим в \( \Pi \) и проходящим через \(H\) (в частности, \(AH \perp BH\) и \(AH \perp\) любая прямая в \( \Pi \), образующая прямой угол с \(BH\)). Значит, \(H\) действительно является основанием перпендикуляра из \(A\) на некоторую плоскость \( \Pi \), проходящую через \(B\). Тем самым всякая точка сферы \(S\) реализуется как основание перпендикуляра, что доказывает равенство множеств.

Отметим граничные случаи. Точка \(A\) не может быть основанием перпендикуляра к плоскости, так как это потребовало бы совпадения плоскости с любой плоскостью, перпендикулярной в \(A\), что невозможно. Точка \(B\) также недостижима как основание, поскольку тогда из \(A\) опускался бы перпендикуляр на плоскость, содержащую \(B\), с основанием в \(B\), но в этом случае вектор \(AB\) должен быть перпендикулярен всей плоскости, что противоречит условию вариативности плоскости через \(B\). Следовательно, геометрическое место точек оснований перпендикуляров есть сфера диаметром \(AB\), из которой исключены точки \(A\) и \(B\). Итак, искомое ГМТ: сфера с диаметром \(AB\), без точек \(A\) и \(B\).