ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите ГМТ центров сфер, касающихся двух данных плоскостей.

Если плоскости параллельны, то ГМТ — плоскость, каждая точка которой равноудалена от данных параллельных плоскостей.

Если плоскости пересекаются по прямой \(a\), то ГМТ составляют две плоскости, проходящие через прямую \(a\) и содержащие биссектрисы четырёх двугранных углов, образованных данными плоскостями; прямая \(a\) в ГМТ не входит.

В случае параллельных плоскостей \(\pi_{1}\) и \(\pi_{2}\) с расстоянием \(d>0\) центр сферы, касающейся обеих, должен быть равноудалён от этих плоскостей. Геометрическое место таких точек — средняя плоскость \(\sigma\), параллельная \(\pi_{1}\) и \(\pi_{2}\) и находящаяся на расстоянии \(d/2\) от каждой. Для любой точки \(O\) на \(\sigma\) выполняется \( \text{dist}(O,\pi_{1})=\text{dist}(O,\pi_{2}) \), а радиус возможной сферы равен \( r=\text{dist}(O,\pi_{1})=\text{dist}(O,\pi_{2}) \).

В случае пересекающихся плоскостей \(\pi_{1}\cap\pi_{2}=a\) и угла между ними \(2\varphi\) для центра \(O\) сферы радиуса \(r\), касающейся обеих, необходимо и достаточно, чтобы \( \text{dist}(O,\pi_{1})=\text{dist}(O,\pi_{2})=r \). Множество точек, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, образуют две плоскости-биссектрисы двугранного угла, проходящие через \(a\). На каждой из них для любой точки \(O\) верно \( \text{dist}(O,\pi_{1})=\text{dist}(O,\pi_{2}) \), поэтому центры искомых сфер лежат именно на этих двух плоскостях, а радиус равен общему расстоянию \(r\).

Прямая \(a\) в ГМТ не входит: если \(O\in a\), то \( \text{dist}(O,\pi_{1})=\text{dist}(O,\pi_{2})=0 \), что даёт \( r=0 \) и приводит к вырожденному случаю. Следовательно, итог таков: при параллельных плоскостях ГМТ центров — средняя плоскость \(\sigma\); при пересечении — две плоскости-биссектрисы двугранного угла, пересекающиеся по \(a\), причём точки самой прямой \(a\) исключаются.