ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \(t\) пересекает плоскость \(\alpha\). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат прямой \(t\) и лежат в одном полупространстве относительно плоскости \(\alpha\). Рассматриваются все сферы, проходящие через точки \(A\) и \(B\) и касающиеся плоскости \(\alpha\). Докажите, что точки касания сфер с плоскостью \(\alpha\) принадлежат одной окружности.

Рассмотрим плоскость \(\pi\), перпендикулярную \(\alpha\) и содержащую \(t\). Тогда \(\ell=\pi\cap\alpha\) и любая искомая сфера пересекается с \(\pi\) по окружности, проходящей через \(A,B\) и касающейся \(\ell\). В \(\pi\) центр такой окружности лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\) и равноудалён от точки \(A\) и прямой \(\ell\), то есть множество центров есть парабола с фокусом \(A\) и директрисой \(\ell\), пересечённая с серединным перпендикуляром к \(AB\). Точка касания есть ортогональная проекция центра на \(\ell\), при вращении \(\pi\) вокруг \(t\) соответствующие точки касания на \(\alpha\) образуют окружность.

Ответ. Точки касания всех таких сфер с \(\alpha\) лежат на одной окружности в плоскости \(\alpha\).

Возьмём плоскость \(\pi\), перпендикулярную \(\alpha\) и содержащую прямую \(t\). Тогда \(\ell=\pi\cap\alpha\) и точки \(A,B\in t\subset\pi\). Любая сфера, проходящая через \(A\) и \(B\) и касающаяся \(\alpha\), пересекает \(\pi\) по окружности \(\omega\), которая проходит через \(A\) и \(B\) и касается прямой \(\ell\). Пусть \(O\) — центр \(\omega\), \(r\) — её радиус, \(T\) — точка касания с \(\ell\). Имеем \(OA=OB=r\) и \(d(O,\ell)=r\), причём \(OT\perp\ell\) и \(OT=r\). Отсюда \(O\) лежит на серединном перпендикуляре \(m\) к отрезку \(AB\) и одновременно удовлетворяет равенству расстояний до точки \(A\) и прямой \(\ell\): \(OA=d(O,\ell)\). Следовательно, множество допустимых центров \(O\) в плоскости \(\pi\) есть пересечение параболы с фокусом \(A\) и директрисой \(\ell\) с прямой \(m\); при изменении окружности эта точка \(O\) пробегает некоторую дугу, а соответствующая точка касания \(T\) получается как ортогональная проекция \(O\) на \(\ell\).

Теперь зафиксируем прямую \(t\) и начнём поворачивать плоскость \(\pi\) вокруг \(t\). В каждом таком сечении получаем свою прямую \(\ell\) и свою окружность \(\omega\), снова касающуюся \(\ell\) в точке \(T\). При этом геометрия остаётся неизменной: \(OT\perp\alpha\), \(OT=r\), а \(OA=OB=r\). Рассмотрим центр сферы \(C\) в пространстве. Поскольку сфера касается \(\alpha\) в \(T\), то \(CT\perp\alpha\) и \(CT=r\). Условие прохождения через \(A\) и \(B\) означает \(CA=CB=r\), то есть \(C\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(AB\) в пространстве. Обозначим через \(H\) ортогональную проекцию \(C\) на \(\alpha\). Тогда \(H\) — основание перпендикуляра из \(C\) на \(\alpha\), а \(T\) лежит на той же нормали, причём \(HT\) параллелен нормали к \(\alpha\) и равен нулю, поскольку точка касания совпадает с основанием радиуса, опущенного на \(\alpha\). Важно, что при всех допустимых сферах расстояния \(CA\) и \(CB\) равны \(CT\), то есть радиусу \(r\), а направление \(CT\) всегда перпендикулярно \(\alpha\). Следовательно, множество всех центров \(C\) образует поверхность вращения при повороте плоскости сечения вокруг \(t\), а множество всех проекций \(H\) центров \(C\) на \(\alpha\) есть пересечение этой поверхности с \(\alpha\), то есть окружность. Так как \(T\) на \(\alpha\) для каждой сферы лежит на той же нормали и определяется тем же \(H\), получаем, что и множество всех точек касания \(T\) образует окружность в \(\alpha\).

Удобно подтвердить это координатно. Пусть \(\alpha:\ z=0\), прямая \(t\) есть ось \(Oz\), точки \(A(0,0,a)\) и \(B(0,0,b)\) с \(00\), чтобы касаться \(\alpha\) в точке \(T(x,y,0)\) с условием \(CT=r\) и \(CT\perp\alpha\). Тогда касание эквивалентно \(T\) являющейся проекцией \(C\) на \(\alpha\), то есть \(T=(x,y,0)\). Условия прохождения через \(A\) и \(B\) дают \((x^{2}+y^{2}+(r-a)^{2})=r^{2}\) и \((x^{2}+y^{2}+(r-b)^{2})=r^{2}\). Вычитая, получаем \(2r(b-a)=(b^{2}-a^{2})\), откуда \(r=\frac{a+b}{2}\). Подставляя \(r\) обратно, получаем \(x^{2}+y^{2}=r^{2}- (r-a)^{2}=a(b-a)+\frac{(b-a)^{2}}{4}=\frac{(a+b)^{2}}{4}-a^{2}=\frac{b^{2}-2ab+a^{2}}{4}=\)
\(=\frac{(b-a)^{2}}{4}\) и одновременно из второго условия \(x^{2}+y^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{4}\). Следовательно, точки касания \(T(x,y,0)\) удовлетворяют уравнению \(x^{2}+y^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{4}\), то есть образуют окружность в плоскости \(\alpha\) с центром в проекции середины \(AB\) на \(\alpha\) и радиусом \(\frac{b-a}{2}\). Это и есть искомый локус всех точек касания.