ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан трёхгранный угол \(SABC\), каждый плоский угол которого равен \(90^\circ\). Точка \(M\) принадлежит трёхгранному углу и удалена от его граней на 1 см, 2 см и 5 см. Сфера проходит через точку \(M\) и касается всех граней трёхгранного угла. Найдите радиус сферы.

Рассмотрим трёхгранный угол с гранями \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\). Тогда точка \(M\) имеет координаты \(M(1,2,5)\), поскольку её расстояния до граней равны 1, 2 и 5.

Сфера, касающаяся всех трёх граней, имеет центр \(C(R,R,R)\) и радиус \(R\). Условие прохождения через \(M\) даёт уравнение \(\sqrt{(1-R)^2+(2-R)^2+(5-R)^2}=R\).

Возводим в квадрат и упрощаем: \((1-R)^2+(2-R)^2+(5-R)^2=R^2 \Rightarrow 3R^2-16R+30=R^2 \Rightarrow 2R^2-\)
\(-16R+30=0 \Rightarrow R^2-8R+15=0\).

Отсюда \(R=\frac{8\pm 2}{2}\), то есть \(R=3\) или \(R=5\).

Положим вершину трёхгранного угла в точке начала координат и совместим его грани с координатными плоскостями \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\), поскольку данные плоскости попарно перпендикулярны и образуют требуемый трёхгранный угол с плоскими углами по \(90^\circ\). Расстояние от точки до таких плоскостей равно модулю соответствующей координаты, поэтому точка \(M\), удалённая от граней на 1 см, 2 см и 5 см, может быть без ограничения общности взята в первой октанте как \(M(1,2,5)\). Это корректно, так как знаки координат не влияют на расстояние до соответствующей плоскости, а задача зависит лишь от абсолютных расстояний, а не от ориентации.

Сфера, касающаяся всех трёх граней \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\), должна иметь центр на равном удалении от каждой из этих плоскостей. Расстояние от точки \(C(a,b,c)\) до плоскости \(x=0\) равно \(|a|\), аналогично до \(y=0\) и \(z=0\) равны \(|b|\) и \(|c|\). Условие касания сферы радиуса \(R\) к каждой плоскости означает, что эти расстояния равны \(R\). В первой октанте получаем \(a=b=c=R\), то есть центр сферы имеет вид \(C(R,R,R)\). Поскольку сфера проходит через точку \(M(1,2,5)\), расстояние от \(C\) до \(M\) равно радиусу: \(\sqrt{(1-R)^{2}+(2-R)^{2}+(5-R)^{2}}=R\).

Возведём в квадрат и упростим. Имеем \((1-R)^{2}+(2-R)^{2}+(5-R)^{2}=R^{2}\). Раскроем скобки: \((1-2R+R^{2})+(4-4R+R^{2})+(25-10R+R^{2})=R^{2}\). Сгруппируем слагаемые: по степеням \(R\) получаем \(3R^{2}-16R+30=R^{2}\). Перенесём всё в одну часть: \(2R^{2}-16R+30=0\). Разделим на 2: \(R^{2}-8R+15=0\). Получившееся квадратное уравнение разлагается на множители \((R-3)(R-5)=0\), откуда \(R=3\) или \(R=5\). Оба значения допустимы геометрически: при \(R=3\) и \(R=5\) центр \(C(R,R,R)\) лежит внутри трёхгранного угла, а точка \(M(1,2,5)\) действительно удовлетворяет уравнению сферы, что легко проверить прямой подстановкой.

Интерпретация двух решений связана с тем, что существует две сферы, касающиеся трёх взаимно перпендикулярных плоскостей и проходящие через одну и ту же внутреннюю точку: меньшая сфера с центром ближе к вершине трёхгранного угла и большая сфера с центром дальше от неё. В координатах это соответствует двум различным расстояниям \(R\) от центра \(C(R,R,R)\) до точки \(M(1,2,5)\), при неизменном условии касания к плоскостям. Таким образом, допустимы оба радиуса, и окончательный ответ: \(R=3\) см или \(R=5\) см.