ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), \(AB = BC = 2\) см, \(AA_1 = 1\) см. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(D\) и \(B_1\) и параллельна прямой \(AC\). Найдите радиус сферы, касающейся плоскости \(\alpha\) и трёх граней параллелепипеда с общей вершиной \(B\).

Зададим координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(C(2,2,0)\), \(D(0,2,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(2,0,1)\), \(C_1(2,2,1)\), \(D_1(0,2,1)\). Плоскость \(\alpha\) через \(D\) и \(B_1\), параллельная \(AC\), имеет нормаль \((-1,1,4)\) и уравнение \(-x+y+4z-2=0\). Длина нормали \(3\sqrt{2}\).

Сфера, касающаяся плоскостей \(x=2\), \(y=0\), \(z=0\), имеет центр \((2-r,\,r,\,r)\). Условие касания с \(\alpha\): расстояние от центра до \(\alpha\) равно \(r\), то есть \(\frac{|-(2-r)+r+4r-2|}{3\sqrt{2}}=r\), что даёт \(\frac{4-6r}{3\sqrt{2}}=r\).

Решая, получаем \(4-6r=3\sqrt{2}\,r\), откуда \(r=\frac{4}{6+3\sqrt{2}}=\frac{4-2\sqrt{2}}{3}\). Ответ: \(r=\frac{4-2\sqrt{2}}{3}\).

Для удобства вычислений зафиксируем декартову систему координат, учитывающую размеры прямоугольного параллелепипеда \(AB=BC=2\) и \(AA_1=1\). Положим \(A(0,0,0)\), \(B(2,0,0)\), \(C(2,2,0)\), \(D(0,2,0)\), а также верхние вершины \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(2,0,1)\), \(C_1(2,2,1)\), \(D_1(0,2,1)\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(D(0,2,0)\) и \(B_1(2,0,1)\) и параллельна прямой \(AC\), у которой направляющий вектор равен \(\overrightarrow{AC}=(2,2,0)\). В качестве двух направляющих векторов плоскости \(\alpha\) удобно взять \(\overrightarrow{DB_1}=B_1-D=(2,-2,1)\) и \(\overrightarrow{AC}=(2,2,0)\). Тогда нормальный вектор плоскости равен векторному произведению \(\mathbf{n}=\overrightarrow{DB_1}\times\overrightarrow{AC}=(2,-2,1)\times(2,2,0)=(-2,2,8)\). Этот нормальный вектор можно упростить, разделив на \(2\), получаем сонаправленный \((-1,1,4)\), что не меняет плоскость. Подставляя координаты точки \(D(0,2,0)\) в общее уравнение \(ax+by+cz+d=0\) при \(a=-1\), \(b=1\), \(c=4\), находим \(d\) из условия \(-\cdot 0+1\cdot 2+4\cdot 0+d=0\), откуда \(d=-2\). Следовательно, уравнение плоскости \(\alpha\) имеет вид \(-x+y+4z-2=0\). Это уравнение будет использоваться для вычисления расстояния от произвольной точки до плоскости \(\alpha\) по стандартной формуле, при этом коэффициенты нормали \((-1,1,4)\) задают длину нормали \(\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+4^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).

Далее опишем геометрию сферы, касающейся трёх взаимно перпендикулярных граней с общей вершиной \(B(2,0,0)\). Эти грани лежат в плоскостях \(x=2\), \(y=0\), \(z=0\). Чтобы расстояния от центра сферы до каждой из этих плоскостей были равны радиусу \(r\), центр сферы должен иметь координаты \((2-r,\,r,\,r)\). Действительно, расстояние до плоскости \(x=2\) равно \(|(2-r)-2|=r\), до плоскости \(y=0\) равно \(|r-0|=r\), и до плоскости \(z=0\) равно \(|r-0|=r\). Такое расположение центра обеспечивает одновременное касание всех трёх граней. Поскольку высота параллелепипеда равна \(1\), немедленно следует естественное ограничение \(0<r\le 1\), однако более строго радиус будет меньше \(1\) из-за дополнительного условия касания с наклонной плоскостью \(\alpha\).

Условие касания сферы с плоскостью \(\alpha\) означает, что расстояние от её центра \((2-r,\,r,\,r)\) до плоскости \(-x+y+4z-2=0\) равно \(r\). Применим формулу расстояния от точки \((x_0,y_0,z_0)\) до плоскости \(ax+by+cz+d=0\): расстояние равно \(\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\). В нашем случае \(a=-1\), \(b=1\), \(c=4\), \(d=-2\), поэтому получаем \(\frac{|-(2-r)+r+4r-2|}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+4^{2}}}=\frac{| -4+6r |}{\sqrt{18}}=r\). Учитывая, что геометрически \(r<\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) по неравенству \(6r<4\) (иначе центр оказался бы по другую сторону плоскости относительно требуемого касания), модуль раскрывается как \(4-6r\), и уравнение упрощается до \(\frac{4-6r}{3\sqrt{2}}=r\). Это соотношение выражает баланс расстояний: от центра до каждой из четырёх касательных плоскостей расстояние одинаково и равно \(r\), а знаменатель \(3\sqrt{2}\) соответствует длине нормали к плоскости \(\alpha\).

Решим линейное уравнение на \(r\). Перемножая обе части на \(3\sqrt{2}\), имеем \(4-6r=3\sqrt{2}\,r\), откуда \(4=r(6+3\sqrt{2})\). Следовательно, \(r=\frac{4}{6+3\sqrt{2}}\). Для удобства можно рационализовать знаменатель: умножим числитель и знаменатель на сопряжённое \(6-3\sqrt{2}\), получаем \(r=\frac{4(6-3\sqrt{2})}{(6+3\sqrt{2})(6-3\sqrt{2})}=\frac{24-12\sqrt{2}}{36-18}=\frac{24-12\sqrt{2}}{18}=\frac{4-2\sqrt{2}}{3}\). Численно это значение положительно и меньше \(\frac{2}{3}\), что согласуется с ранее полученным ограничением. Подстановка назад в выражение расстояния до плоскости \(\alpha\) подтверждает равенство \(r\), а координаты центра \((2-r,\,r,\,r)\) действительно лежат внутри параллелепипеда, что завершает обоснование решения.

Ответ: \(r=\frac{4-2\sqrt{2}}{3}\).