ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), \(AB = BC = 1\) см, \(AA_1 = 2\) см. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\) и \(C_1\) и параллельна прямой \(BD\). Найдите радиус сферы, касающейся плоскости \(\alpha\) и трёх граней параллелепипеда с общей вершиной \(C\).

Зададим координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,2)\), \(B_1(1,0,2)\), \(C_1(1,1,2)\), \(D_1(0,1,2)\). Плоскость \(\alpha\) проходит через \(A\) и \(C_1\) и параллельна \(BD\), поэтому берём направляющие \(\overrightarrow{AC_1}=(1,1,2)\) и \(\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)\); нормаль \((1,1,2)\times(-1,1,0)=(-2,-2,2)\sim(-1,-1,1)\), уравнение \(\alpha\): \(-x-y+z=0\), длина нормали \(\sqrt{3}\).

Сфера касается плоскостей \(x=1\), \(y=1\), \(z=0\) с общей вершиной \(C\), поэтому её центр \((1-r,\,1-r,\,r)\). Расстояние до \(\alpha\) равно \(r\): \(\frac{|-(1-r)-(1-r)+r|}{\sqrt{3}}=r\Rightarrow\frac{2-3r}{\sqrt{3}}=r\).

Решая, получаем \(2=r(3+\sqrt{3})\Rightarrow r=\frac{2}{3+\sqrt{3}}=\frac{2(3-\sqrt{3})}{6}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\). Ответ: \(r=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\) см.

Введём прямоугольную декартову систему координат, поместив вершины параллелепипеда в стандартные точки: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,2)\), \(B_1(1,0,2)\), \(C_1(1,1,2)\), \(D_1(0,1,2)\). Тогда диагональ нижнего основания \(BD\) имеет направляющий вектор \(\overrightarrow{BD}=D-B=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0)\). Плоскость \(\alpha\) должна проходить через точки \(A(0,0,0)\) и \(C_1(1,1,2)\) и быть параллельной прямой \(BD\), поэтому двумя независимыми направляющими векторами плоскости являются \(\overrightarrow{AC_1}=C_1-A=(1,1,2)\) и \(\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)\). Нормальный вектор к \(\alpha\) находим векторным произведением: \((1,1,2)\times(-1,1,0)=\big(1\cdot0-2\cdot1,\;2\cdot(-1)-1\cdot0,\;1\cdot1-1\cdot(-1)\big)=\)
\(=(-2,-2,2)\), который сонаправлен вектору \((-1,-1,1)\). Так как \(\alpha\) проходит через \(A(0,0,0)\), её уравнение имеет вид \(-x-y+z=0\). Евклидова длина нормали равна \(\|\mathbf n\|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}\), что потребуется для формулы расстояния от точки до плоскости.

Далее выберем три взаимно перпендикулярные грани с общей вершиной \(C\). Это грани, содержащие вершину \(C(1,1,0)\), и их плоскости имеют уравнения \(x=1\), \(y=1\) и \(z=0\). Сфера, касающаяся этих трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, имеет центр, отстоящий на расстояние \(r\) от каждой из них по нормали, то есть центр лежит на расстояниях \(r\) внутрь от каждой плоскости. Поэтому координаты центра сферы равны \((1-r,\,1-r,\,r)\): первая координата на \(r\) меньше 1 (внутрь от \(x=1\)), вторая на \(r\) меньше 1 (внутрь от \(y=1\)), а третья на \(r\) больше 0 (вверх от \(z=0\)). Это точка является единственно возможной позицией центра сферы, одновременно касающейся всех трёх указанных граней при положительном радиусе \(r>0\).

Условие касания сферы с плоскостью \(\alpha\) означает, что расстояние от центра \((1-r,1-r,r)\) до плоскости \(-x-y+z=0\) равно радиусу \(r\). Расстояние от точки \((x_{0},y_{0},z_{0})\) до плоскости \(ax+by+cz+d=0\) вычисляется по формуле \(\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\). Подставляя \(a=-1\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\) и координаты центра, получаем \(\frac{|-(1-r)-(1-r)+r|}{\sqrt{3}}=r\), то есть \(\frac{| -2+3r |}{\sqrt{3}}=r\). Поскольку геометрически \(r\) меньше расстояния от \(C\) до плоскости \(\alpha\), вычислим это расстояние: подставляя \(C(1,1,0)\) в \(-x-y+z=0\), имеем \(\frac{| -1-1+0 |}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\), следовательно \(r<\frac{2}{\sqrt{3}}\), а из уравнения видно, что при \(r<\frac{2}{3}\) выражение под модулем положительно не становится; в нашем случае корректно раскрыть модуль как \(2-3r\). Тогда \(\frac{2-3r}{\sqrt{3}}=r\), откуда \(2=r(\sqrt{3}+3)\) и \(r=\frac{2}{3+\sqrt{3}}=\frac{2(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\). Таким образом, искомый радиус равен \(r=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\) см, что удовлетворяет всем условиям касания сферы с тремя взаимно перпендикулярными гранями и плоскостью \(\alpha\).